Definition: Gerade, Steigung, y-Achsenabschnitt

Eine Funktion der folgenden Form heißt Gerade oder Polynomfunktion ersten Grades (in der Schule heißen sie auch lineare Funktionen): \begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ f(x)=mx+c \end{eqnarray*}

Dabei gibt m die Steigung der Gerade und c den y-Achsenabschnitt der Gerade an.

Hier können Sie an einer Interaktion sehen, wie die Parameter m und c die Lage der Gerade beeinflussen.

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Geraden können auf verschiedene Art und Weißen gezeichnet werden:

  1. mit Hilfe von c und m (siehe Animation).

  2. mit Hilfe von zwei beliebigen Punkten (Punkte einzeichnen und verbinden).

  3. mit Hilfe eines beliebigen Punktes und m (wie a.)

Beispiel 1. Liegt der Punkt auf der Geraden

Entscheiden Sie ob der Punkt P(1,5) und/oder der Punkt Q(2,6) auf der folgenden Geraden liegt: \begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ f(x)=2x+2 \end{eqnarray*}

Um zu bestimmen, ob der Punkt P(1,5) auf der Gerade liegt, wird für x=1 eingesetzt und überprüft ob f(1)=5: \begin{eqnarray*} f(x)&=&2x+2\\ &=&2 \cdot 1 +2 \\ &=& 4 \end{eqnarray*} Daher ist f(1)=4 und nicht 5. Deshalb liegt der Punkt P nicht auf der Geraden.

Um zu bestimmen, ob der Punkt P(2,6) auf der Gerade liegt, wird für x=2 eingesetzt und überprüft ob f(2)=6: \begin{eqnarray*} f(x)&=&2x+2\\ &=&2 \cdot 2 +2 \\ &=& 6 \end{eqnarray*} Also ist f(2)=6 und deshalb liegt der Punkt Q auf der Geraden.

Beispiel 2. Schnittpunkt zweier Geraden

Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden folgenden Geraden: \begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ f(x)=2x+2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ f(x)=5x+1 \end{eqnarray*}

Der Schnittpunkt ist der Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Setzt man also den x-Wert des Schnittpunktes in die erste oder die zweiten Funktion ein erhält man jeweils den y-Wert des Schnittpunktes. Im Schnittpunkt muss also 2x+2 und 5x+1 denselben Wert ergeben. Daher können die beiden Funktionsvorschriften der Geraden gleich gesetzt werden: \begin{eqnarray*} 2x+2=5x+1 \end{eqnarray*}

Um den x-Wert des gesuchten Punkts zu berechnen muss nun die obige Gleichung nach x aufgelöst werden: \begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}

Der entsprechende y-Wert des Punktes wird nun berechnet indem der x-Wert in eine der beiden Funktionen eingesetzt wird. Dabei ist es egal welche der Funktionen genommen wird:

\begin{eqnarray*} f(x)&=&2x+2\\ &=&2\cdot \frac{1}{3}+2\\ &=&\frac{8}{3} \end{eqnarray*}

Die beiden Geraden schneiden sich im Schnittpunkt $S(\frac{1}{3},\frac{8}{3})$.

Eine weitere mögliche Aufgabenstellung, die bei Geraden oft vorkommt, ist die Bestimmung der Funktionsvorschrift mit Hilfe von zwei gegebenen Punkten auf der Geraden. Diese Art von Aufgabenstellung lässt sich am einfachsten mit der Hilfe von Linearen Gleichungssystemen lösen. Mit Hilfe dieses Lösungsverfahrens kann dann auch eine allgemeine Formel angegeben werden. Vollständigkeitshalber wird die Formel nun angegeben aber an dieser Stelle noch nicht weiter darauf eingegangen.

Gegeben sind die Punkte $P(x_1,y_1)$ und $Q(x_2, y_2)$. Die Funktionsvorschrift der Geraden, die durch beiden Punkte geht lautet: \begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(y_2-y_1)(x-x_1)}{x_2-x_1}+y_1 \end{eqnarray*}