Gleichungen

Definition: Gleichung, Lösungen und Lösungsmenge

Eine Gleichung besteht aus zwei mathematischen Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Bei jeder Gleichung, die keine Variablen enthält, kann entschieden werden, ob die Gleichung wahr oder falsch ist. Bei Gleichungen, die mindestens eine Variable haben, hängt der Wahrheitsgehalt der Gleichung von dem eingesetzten Wert für die Variable ab. Werte für die Variable, für die die Gleichung wahr wird, heißen Lösungen der Gleichung. Alle Lösungen der Gleichung werden in einer Menge, der Lösungsmenge, zusammengefasst.

Beispiel 1. Gleichung, Lösungen und Lösungsmenge

Elementare Gleichung: $3x+2=9-x$ mit der Lösung $x=2$ und der Lösungsmenge $L=\{2\}$
Quadratische Gleichung: $x^2+x-2=0$ mit der Lösung $x=-2$ und der Lösungsmenge $L=\{-2,1\}$, denn auch $x=1$ ist eine Lösung.
Bruchgleichung: $\frac{1}{x+1}+3=7$ mit der Lösung $x=-\frac{3}{4}$ und der Lösungsmenge $L=\{-\frac{3}{4}\}$
…

Die Lösungsmenge einer Gleichung ist nur dann richtig angegeben, wenn alle Lösungen der Gleichung aufgelistet werden. Es muss also auch sichergestellt werden, dass es keine weiteren Lösungen gibt.

Nicht immer dürfen alle Zahlen in eine Gleichung eingesetzt werden. Bei der Bruchgleichung aus dem obigen Beispiel darf für $x$ nicht $-1$ eingesetzt werden, da ansonsten durch 0 geteilt wird. Vor dem Lösen von Gleichungen sollte sich deshalb überlegt werden welche Zahlen überhaupt in die Gleichung eingesetzt werden dürfen. Die Menge aller Zahlen die in eine Gleichung eingesetzt werden dürfen nennt man auch den Definitionsbereich der Gleichung.

Satz: Lösen von Gleichungen

Durch Termumformungen

Jede Seite einer Gleichung (also jeder der beiden Terme) kann unabhängig von der anderen Seite mit Hilfe von gültigen Rechenregeln vereinfacht werden. Mögliche Rechenregeln sind:

Distributivgesetzt: $a(b+c)=ab+ac$
Kommutativgesetz: $ab=ba$ bzw. $a+b=b+a$
Bruchrechenregeln
…

Durch Äquivalenzumformungen

Eine Gleichung kann durch Äquivalenzumformungen so umgeformt werden, dass die ursprüngliche Gleichung dieselbe Lösungsmenge besitzt wie die umgeformte Gleichung. Mögliche Äquivalenzumformungen sind:

die Addition (bzw. Subtraktion) einer beliebigen Zahl auf beiden Seiten.
die Multiplikation (bzw. Division) einer beliebigen Zahl ungleich Null auf beiden Seiten.
das (richtige!) Radizieren (Wurzelziehen) auf beiden Seiten.

Durch Gewinnumformungen

Eine Gleichung kann durch Gewinnumformungen so umgeformt werden, dass die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung eine Teilmenge der Lösungsmenge der umgeformten Gleichung ist. Mögliche Gewinnumformungen sind:

das Quadrieren von beiden Seiten einer Gleichung.

Durch Termumformungen, Äquivalenzumformungen und Gewinnumformungen wird versucht die Gleichung in eine einfachere Gleichung zu überführen, deren Lösungsmenge direkt abgelesen werden kann. Die Lösungen werden dann mit Hilfe einer Probe verifiziert. Die Probe ist vor allem dann nötig, wenn Gewinnumformungen beim Überführen benutzt wurden umso die "gewonnen" Lösungen zu eliminieren.

Achtung es gibt auch Umformungen die nicht zulässig sind, hierzu zählen die im Folgenden vorgestellten Verlustumformungen.

Falsch: Durch Verlustumformungen

Eine Gleichung kann durch Verlustumformungen so umgeformt werden, dass die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung eine Obermenge der Lösungsmenge der umgeformten Gleichung ist. Mögliche Verlustumformungen sind:

das (falsche!) Radizieren (Wurzelziehen) auf beiden Seiten.

Beispiel 2. Lösen einer elementaren Gleichung durch Term- und Äquivalenzumformungen

\begin{eqnarray*} 5x+7&=&3x-2 \quad &|& -7-3x \\ 5x+7-7-3x&=&3x-2-7-3x &&\\ 2x&=&-9 \quad &|& :2 \\ \frac{2x}{2}&=&\frac{-9}{2} &&\\ x&=&-\frac{9}{2} && \\ \end{eqnarray*} die Lösungsmenge lautet also $L=\{-\frac{9}{2}\}$.

Beispiel 3. Lösen einer Wurzelgleichung durch Term-, Äquivalenz- und Gewinnumformung

\begin{eqnarray*} \sqrt{x-3}&=&-5 \quad &|& quadrieren \\ (\sqrt{x-3})^2&=&(-5)^2 &&\\ x-3&=&25 \quad &|& +3 \\ x-3+3&=&25+3 &&\\ x&=&28 && \\ \end{eqnarray*} Probe: $\sqrt{28-3}=5 \neq -5$

die Lösungsmenge lautet also $L=\{\}$.

Genaueres hierzu finden Sie auch noch im Modul Potenzen, Wurzeln und Logarithmus.

Beispiel 4. Lösen einer Quadratischen Gleichung durch Term- und Äquivalenzumformungen (richtig) bzw. Term-, Äquivalenz- und Verlustumformungen (falsch)

Richtig: \begin{eqnarray*} (x+1)^2&=&9 \quad &|& \ wurzelziehen \\ \sqrt{(x+1)^2}&=&\sqrt{9} \quad &|& (richtig) \\ |x+1|&=&3 \quad &|& Betrag \ auflösen \\ x+1&=&\pm3\quad &|& -1 \\ x+1-1&=&\pm 3-1 &&\\ x&=&\pm 3-1 && \end{eqnarray*}

die Lösungsmenge lautet also $L=\{2,-4\}$.

Falsch: \begin{eqnarray*} (x+1)^2&=&9 \quad &|& \ wurzelziehen \\ \sqrt{(x+1)^2}&=&\sqrt{9} \quad &|& (falsch) \\ x+1&=&3 \quad &|& -1 \\ x&=&2 && \end{eqnarray*} die Lösungsmenge lautet also $\color{red}{L=\{2\}}$.

Genaueres hierzu finden Sie auch noch in den Modulen Betrag und Quadratische Gleichungen.

Mit Hilfe der obigen Strategien können Sie nun vielen Arten von Gleichungen (elementare Gleichungen, Bruchgleichungen,…) lösen. Für andere Arten von Gleichungen (Quadratische Gleichungen, Wurzelgleichungen, Logarithmusgleichungen,….) brauchen Sie möglicherweise noch weitere Rechenregeln bzw. spezielle Umformungsstrategien. Diese werden in den entsprechenden Modulen erläutert. Des Weiteren gibt es viele Arten von Gleichungen (Kubische Gleichungen,…), die sich durch Umformungen nicht lösen lassen. Lösungsstrategien für diese Art von Gleichungen lernen Sie gegebenenfalls an entsprechender Stelle während Ihres Studiums.