1. Anwendungskontext
Mit Hilfe der Linsengleichung ($\frac{1}{g}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$) kann zu einer gegebenen Brennweite f einer Linse und der Gegenstandsweite g die Bildweite b berechnet werden. Dadurch wird der Abstand des entstehenden Bildes zur Linse bekannt. Berechnen Sie die Bildweite b für eine Linse mit Brennweite f=2,0 cm und einem Gegenstand der g=3,0 cm von der Linse entfernt steht.
2. Lernziele
Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…
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… eine Gleichung erkennen.
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… die Begriffe Gleichungen, Lösungen und Lösungsmenge erklären und an Beispielen erläutern.
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… Term-, Äquivalenz-, Gewinn- und Verlustumformungen unterscheiden.
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… mit Hilfe von Term- und Äquivalenzumformungen geeignete elementare Gleichungen lösen.
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… die Lösungsmenge einer elementaren Gleichung berechnen und diese richtig angeben.
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… Anwendungsaufgaben mit Hilfe von elementaren Gleichungen beschreiben und diese lösen.
4. Tipps & Tricks
Tauchen in einer Gleichung Brüche auf, so kann die Gleichung mit dem gemeinsamen Hauptnenner der Brüche multipliziert werden, um so die Brüche in der Gleichung zu eliminieren. Achtung trotzdem muss der Definitionsbereich bestimmt werden und überprüft werden, ob die errechnete Lösung überhaupt im Definitionsbereich liegt.
\begin{eqnarray*} \frac{3}{x+2}+\frac{1}{2}&=&\frac{5}{3} \quad \quad &|&\cdot(x+2)\cdot 2\cdot 3\\ 3\cdot 3 \cdot 2 + 1 \cdot (x+2) \cdot 3 &=& 5 \cdot (x+2) \cdot 2 &&\\ 18+3(x+2)&=&10(x+2) \quad \quad &|& \ weitere \ Äquivalenzumformungen \\ x&=&\frac{4}{7} && \end{eqnarray*} Der Definitionsbereich der Gleichung ist hier $D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$. Da $\frac{4}{7} \in D$ lautet die Lösungsmeng der Gleichung $L=\{\frac{4}{7}\}$.
Eine Gleichung, die auf der einen Seite Null ergibt und auf der anderen Seite faktorisiert ist, kann gelöst werden indem jeder der Faktoren gleich Null gesetzt wird.
\begin{eqnarray*} (x+5)(x-3)&=&0 \\ x_1&=&-5 \quad weil \quad x+5=0 \\ x_2&=&3 \quad weil \quad x-3=0 \end{eqnarray*}
5. Wissenskontrolle
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Mit Hilfe der Linsengleichung ($\frac{1}{g}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$) kann zu einer gegebenen Brennweite f einer Linse und der Gegenstandsweite g die Bildweite b berechnet werden. Dadurch wird der Abstand des entstehenden Bildes zur Linse bekannt. Berechnen Sie die Bildweite b für eine Linse mit Brennweite f=2,0 cm und einem Gegenstand der g=3,0 cm von der Linse entfernt steht.
\begin{eqnarray*} \frac{1}{g}+\frac{1}{b}&=&\frac{1}{f} \quad &|& \quad einsetzen\\ \frac{1}{3}+\frac{1}{b}&=&\frac{1}{2}\quad &|&-\frac{1}{3} \\ \frac{1}{b} &=&\frac{1}{6} \quad &|& \cdot b \cdot 6 \\ 6&=&b && \end{eqnarray*} Die Bildweite beträgt 6,0 cm.
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