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In diesem Modul lernen Sie, was Integrale sind, wie diese zu interpretieren sind und wie Sie mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung (einer der wichtigsten Sätze der Mathematik) Integrale einfacher Funktion berechnen können. Woher die Interpretation stammt, warum der Satz gilt und woher dieser kommt werden Sie gegebenenfalls in Ihren Mathematikvorlesungen lernen. Hier geht es darum für die Anwendungsfächer (z.B. für Physik) die nötigen Grundlagen zur Berechnung der Integrale bereit zu stellen. |
Das Integral $\int_b^a f(x) dx$ gibt den Flächeninhalt der Fläche zwischen Funktion und x-Achse im Bereich zwischen b und a an. Flächen oberhalb der Achse gehen dabei positiv ein, Flächen unterhalb der Achse negativ. Dabei ist b die untere Grenze des Integrals und a die obere Grenze des Integrals. dx gibt das Ende des Integrals an und gibt die Variable nach der integriert werden soll (hier x) an.
Viele Integrale lassen sich gar nicht auf einfach Art, manche gar nicht mir analytischen Mittel lösen. Es ist zwar möglich, den Flächeninhalt geschickt zu approximieren oder durch numerische Verfahren ungefähr zu bestimmen, aber eine exakte Berechnung ist nur in wenigen Fällen möglich.
Ein einfaches Verfahren wird im Folgenden nun vorgestellt. Es handelt sich hierbei um den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Dieser Satz sagt aus, dass differenzieren (also ableiten) und integrieren Umkehroperationen voneinander sind. Um das Integral $\int_b^a f(x) dx$ zu bestimmen, wird die Stammfunktion F(x) bestimmt. Die Stammfunktion ist dabei die Funktion, deren Ableitung die Funktion f(x) ist. Anschließend werden die beiden Grenze in die Stammfunktion eingesetzt (also F(a) und F(b) berechnet) und der Wert der unteren Grenze vom Wert der oberen Grenze subtrahiert. Prinzipiell gilt das für alle Integrale. Es ist jedoch nur von wenigen Integralen möglich die Stammfunktion direkt anzugeben. Bei denen im Vorkurs behandelten Integralen geht dies jedoch immer.
Die Vorrausetzung, dass f eine reellwertige Funktion ist bedeutet, dass der Zielbereich der Funktion die reellen Zahlen sind. Eine Funktion ist stetig (anschaulich), wenn ihr Graph ohne abzusetzen gezeichnet werden kann. Um das Integral $\int_b^a f(x) dx$ zu berechnen, muss also "lediglich" eine Stammfunktion (also eine Funktion deren Ableitung f(x) ist) gefunden werden. Im Vorkurs geht dies immer indem die Ableitungsregeln betrachtet werden.
a) Um das Integral $\int_0^1 x^4 dx$ zu berechnen, wird zunächst eine Funktion F(x) gebraucht, deren Ableitung $f(x)=x^4$ ist. Dazu werden die Ableitungsregeln betrachtet. Beim Ableiten wird der Exponent (also die Hochzahl) um eins verringert. Also wird beim Integrieren die Hochzahl um eins erhöht. Als möglicher Kandidat bietet sich dann zum Beispiel $F_{vielleicht}(x)=x^5$ an. Die Ableitung von $F_{vielleicht}(x)$ ist jedoch $F_{vielleicht}'(x)=5 \cdot x^4$, also ist der Vorfaktor noch falsch. Die führt zur Funktion $F_{vielleicht2}(x)=\frac{1}{5}x^5$. Hier ist die Ableitung genau die gesuchte Funktion. Also ist die Stammfunktion $F(X)=\frac{1}{5}x^5$. Ist die Stammfunktion gefunden wurden, kann in einem Zwischenschritt die Stammfunktion in eckigen Klammern angeben. Die Grenzen werden dabei an die hintere eckige Klammer geschrieben: \begin{eqnarray*} \int_0^1 x^4 dx = [\frac{1}{5} x^5 ]^1_0 \end{eqnarray*}
Im nächsten Schritt werden dann die Grenzen eingesetzt und voneinander abgezogen: \begin{eqnarray*} \int_a^b x^4 dx &=& [\frac{1}{5} x^5 ]^1_0 \\ &=&(\frac{1}{5} \cdot 1^5)-(\frac{1}{5} \cdot 0^5)\\ &=&\frac{1}{5}-0\\ &=&\frac{1}{5} \end{eqnarray*}
Das Integral $\int_0^1 x^4 dx$ hat also den Wert $\frac{1}{5}$.
b) \begin{eqnarray*} \int_0^1 sin(x) +3x^3+e^x dx&=& [-cos(x)+\frac{3}{4}x^4+e^x]^1_0\\ &=&(-cos(1)+\frac{3}{4}\cdot 1^4+e^1)-(-cos(0)+\frac{3}{4}\cdot 0^4+e^0)\\ &=&(-cos(1)+\frac{3}{4}+e)-(-1+0+1)\\ &=&-cos(1)+\frac{3}{4}+e \end{eqnarray*}
c) \begin{eqnarray*} \int_0^1 (2x-2)^3dx&=&[\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} (2x-3)^4]_0^1\\ &=&(\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} (2\cdot 1-3)^4)-(\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} (2\cdot 0-3)^4)\\ &=&0-2\\ &=&-2 \end{eqnarray*} Die $\frac{1}{2}$ müssen auf Grund der Kettenregel hinzugefügt werden.