1. Anwendungskontext
Berechnen Sie das Volumen des folgenden Behälters. Der Behälter ist 6 Einheiten breit. 8 Einheiten lang und vorne bzw. hinten durch die Funktion $f(x)=\frac{1}{2}x^2$ beschränkt.
2. Lernziele
Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…
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… erklären, was ein Integral anschaulich bedeutet.
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… den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nennen und an einem Beispiel erklären.
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… mit Hilfe des Hauptsatzes einfache Integrale lösen.
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… mit Hilfe der Integralrechnung einfache Anwendungsaufgaben lösen.
4. Tipps & Tricks
Achten Sie auf die Integrationsvariable. Es gilt: \begin{eqnarray*} \int_0^1 xy^2+3 dx&=&[\frac{1}{2}x^2y^2+3x]_0^1\\ &=&(\frac{1}{2}\cdot 1^2y^2+3\cdot 1)-(\frac{1}{2}\cdot 0^2y^2+3\cdot 0)\\ &=&\frac{1}{2}y^2+3-0\\ &=&\frac{1}{2} y^2+3 \end{eqnarray*} aber \begin{eqnarray*} \int_0^1 xy^2+3 dy&=&[\frac{1}{3}xy^3+3y]_0^1\\ &=&(\frac{1}{3}x\cdot 1^3+3\cdot 1)-(\frac{1}{3}x\cdot 0^3+3\cdot 0)\\ &=&\frac{1}{3}x+3-0\\ &=&\frac{1}{3}x+3 \end{eqnarray*}
5. Wissenskontrolle
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6. Zurück zum Anfang
Berechnen Sie das Volumen des folgenden Behälters. Der Behälter ist 6 Einheiten breit. 8 Einheiten lang und vorne bzw. hinten durch die Funktion $f(x)=\frac{1}{2}x^2$ beschränkt.
Das Volumen berechnet sich indem man das Volumen der Grundfläche (hier die Vor- oder Rückseite des Behälters) mal die Höhe (hier die Länge des Behälters).
Um die Grundfläche des Behälters auszurechnen, kann ein Integral benutzt werden. Hierzu gibt es mehrere mögliche Ansätze. Im Folgenden wird der Graph der Funktion f und das folgenden Quadrat benutzt:
Der Flächeninhalt ergibt sich dann aus der Fläche des Quadrats (rot) minus dem Flächeninhalt unterhalb der Funktion: \begin{eqnarray*} G&=&6 \cdot f(3) - \int_{-3}^3 \frac{1}{2}x^2dx\\ &=&6 \cdot 4,5 -\frac{1}{2} \int_{-3}^3 x^2\\ &=&27-\frac{1}{2} [\frac{1}{3}x^3]^{3}_{-3}\\ &=&27-\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 3^3-\frac{1}{3} \cdot (-3)^3)\\ &=&27-\frac{1}{2} (9+9)\\ &=&27-9\\ &=&18 \end{eqnarray*}
Für das Volumen ergibt sich somit: \begin{eqnarray*} V=G\cdot 8=18 \cdot 8 =144 \end{eqnarray*}
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