Lineares Gleichungssystem

Gegeben ist folgendes elektrisches Netz:

Mit Hilfe des Ohm’schen Gesetzes lässt sich folgendes lineares Gleichungssystem aufstellen: \begin{eqnarray*} (R_1+R_3)\cdot I_1-R_3\cdot I_2=U_1\\ -R_3\cdot I_1+(R_2+R_3)\cdot I_2=-U_2 \end{eqnarray*} Gegeben sind nun folgende elektrische Widerstände und Spannungsabfälle: $R_1 =0,4$ Ohm , $R_2 =0,6$ Ohm, $R_3 =0,8$ Ohm, $U_1 =1,2$ Volt und $ U_2 =1,4$ Volt. Berechnen Sie $I_1$ und $I_2$.

200 Hemden und 250 Pullover kosten im Einkauf 24500 Euro. Die Hemden werden mit 20% Aufschlag verkauft, die Pullover mit 40%. Das Geschäft nimmt 31900 Euro mit den Hemden und Pullovern ein. Wie teuer war ein Hemd im Einkauf? Wie teuer war ein Pullover im Einkauf?

Bestimmen Sie die Gerade, die durch die Punkte $P(x_1,y_1)$ und $Q=(x_2,y_2)$ geht. Begründen Sie mit Hilfe Ihrer Rechnung die Formel aus dem Lernmodul Geraden:

\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(y_2-y_1)(x-x_1)}{x_2-x_1}+y_1 \end{eqnarray*}

Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…

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Lineare Gleichungssysteme haben ein breites Anwendungsfeld und viele verschiedene Lösungsmöglichkeiten. Wann ist welches der vorgestellten Verfahren (Welche waren das noch gleich?) um lineare Gleichungssysteme zu lösen am besten geeignet? Prinzipiell gilt: Jedes Verfahren liefert die richtige Lösung. Jedoch bietet die ein oder andere Variante mehr Stolpersteine (Brüche, …). Oft kann mit ein bisschen Übung dem linearen Gleichungssystem angesehen werden, welches Verfahren "am besten" geeignet ist. Oft wird auch einfach ein Verfahren bevorzugt, weil es als einfacher empfunden wird.

graphisch, durch Einsetzen und durch Gleichsetzen

Das graphische Verfahren alleine reicht häufig jedoch nicht aus. Können sie sich denken warum?

Die Zeichnung kann zu ungenau sein. Können Sie Beispielsweise entscheiden, ob der gemalte Punkt die Koordinate x=1,25, x=1,24 oder doch x=1,245 hat? Oft hängt die Genauigkeit des Ergebnisses von der Größe des Skalars des Koordinatensystems ab. Die graphische Lösung zeigt leicht, ob und wie viele Lösungen es gibt und welche ungefähre Größenordnung die Lösungen haben. Mit den rechnerischen Verfahren kann die Lösung jedoch genau bestimmt werden.

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Gegeben ist folgendes elektrisches Netz:

Mit Hilfe des Ohm’schen Gesetzes lässt sich folgendes lineares Gleichungssystem aufstellen: \begin{eqnarray*} (R_1+R_3)\cdot I_1-R_3\cdot I_2=U_1\\ -R_3\cdot I_1+(R_2+R_3)\cdot I_2=-U_2 \end{eqnarray*} Gegeben sind nun folgende elektrische Widerstände und Spannungsabfälle: $R_1 =0,4$ Ohm , $R_2 =0,6$ Ohm, $R_3 =0,8$ Ohm, $U_1 =1,2$ Volt und $ U_2 =1,4$ Volt. Berechnen Sie $I_1$ und $I_2$.

$I_1=\frac{7}{13}$ Ampere und $I_2=-\frac{9}{13}$ Ampere. Beispiel Lösung mit dem Einsetzungsverfahren: \begin{eqnarray*} 1,2 \cdot I_1-0,8\cdot I_2&=&1,2\\ -0,8\cdot I_1+1,4\cdot I_2&=&-1,4\\ &\Leftrightarrow&\\ \frac{6}{5}\cdot I_1 -\frac{4}{5}\cdot I_2 &=& \frac{6}{5}\\ -\frac{4}{5}\cdot I_1+\frac{7}{5}\cdot I_2 &=& -\frac{7}{5}\\ &\Leftrightarrow&\\ 6\cdot I_1-4\cdot I_2 &=&6\\ -4\cdot I_1+7 \cdot I_2&=&-7 \end{eqnarray*} 1. Gleichung nach $I_1$ auflösen: \begin{eqnarray*} 6\cdot I_1-4\cdot I_2 &=&6 &\Big|& +4\cdot I_2\\ 6\cdot I_1&=&6+4\cdot I_2 &\Big|& :6\\ I_1&=&1+\frac{2}{3} \cdot I_2 \end{eqnarray*} und in die 2. Gleichung einsetzen: \begin{eqnarray*} -4\cdot I_1+7 \cdot I_2&=&-7 &\Big|& \textit{einsetzen} \\ -4\cdot\left(1+\frac{2}{3}\right)\cdot I_2 +7 \cdot I_2&=&-7 &\Big|& \textit{Klammern auflösen}\\ -4-\frac{8}{3}\cdot I_2+7\cdot I_2=-7 &\Big|& +4\\ \frac{13}{3}\cdot I_2 &=& -3 &\Big|& \cdot \frac{3}{13}\\ I_2&=& -\frac{9}{13} \end{eqnarray*} Nun noch $I_1$ berechnen: \begin{eqnarray*} 6\cdot I_1-4\cdot I_2 &=&6 \\ I_1&=&1+\frac{2}{3} \cdot I_2 \\ I_1&=&1+\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{9}{13}\right)\\ I_1&=&\frac{7}{13} \end{eqnarray*}

200 Hemden und 250 Pullover kosten im Einkauf 24500 Euro. Die Hemden werden mit 20% Aufschlag verkauft, die Pullover mit 40%. Das Geschäft nimmt 31900 Euro mit den Hemden und Pullovern ein. Wie teuer war ein Hemd im Einkauf? Wie teuer war ein Pullover im Einkauf?

x: Preis Hemd im Einkauf, y: Preis Pullover im Einkauf \begin{eqnarray*} 200x+250y&=&24500\\ 200\cdot(x\cdot \frac{120}{100})+250\cdot(y\cdot \frac{140}{100})&=&31900\\ &\Leftrightarrow& \\ 20x+25y&=&2450\\ 24x+35y&=&3190\\ \end{eqnarray*} Lösen des linearen Gleichungssystems mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens. Dazu wird die 1. Gleichungen nach x ($x=\frac{2450}{20}-\frac{25}{20}\cdot y$) auf und setzen sie in die 2. Gleichung ein \begin{eqnarray*} 24x+35y&=&3190\\ 24\cdot\left(\frac{2450}{20}-\frac{25}{20}y\right)+35y&=&3190\\ 2940-30y+35y&=&3190\\ 5y&=& 250\\ y&=&50 \end{eqnarray*} Nun wird noch x mit Hilfe der ersten Gleichung bestimmt: \begin{eqnarray*} 200x+250y&=&24500\\ x&=&\frac{2450}{20}-\frac{25}{20}\cdot y\\ x&=& \frac{2450}{20}-\frac{25}{20}\cdot 50 \\ x&=& 60 \end{eqnarray*} Ein Hemd kostet im Einkauf also 60 Euro und ein Pullover 40 Euro.

Bestimmen Sie die Gerade, die durch die Punkte $P(x_1,y_1)$ und $Q=(x_2,y_2)$ geht. Begründen Sie mit Hilfe Ihrer Rechnung die Formel aus dem Lernmodul Geraden:

\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(y_2-y_1)(x-x_1)}{x_2-x_1}+y_1 \end{eqnarray*}

Da eine Gerade gesucht wird müssen die Parameter m und c der folgenden Funktionsvorschrift bestimmt werden: \begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ f(x)=mx+c \end{eqnarray*} Da die beiden Punkte P und Q auf der Geraden liegen sollen, müssen die beiden folgenden Gleichungen erfüllt sein: \begin{eqnarray*} y_1&=&mx_1+c \\ y_2&=&mx_2+c \end{eqnarray*} Lösen des linearen Gleichungssystems mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens. Dazu werden beide Gleichungen nach c umgeformt: \begin{eqnarray*} y_1-mx_1&=&c \\ y_2-mx_2&=&c \end{eqnarray*} und anschließend gleichgesetzt und nach m aufgelöst: \begin{eqnarray*} y_1-mx_1&=&y_2-mx_2\\ mx_2-mx_1&=&y_2-y_1\\ m(x_2-x_1)&=&y_2-y_1\\ m&=&\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray*} dann wird noch der Parameter c bestimmt: \begin{eqnarray*} y_1-mx_1&=&c \\ y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1&=&c \end{eqnarray*} Nun kann alles in die Funktionsvorschrift eingesetzt werden. Durch ein wenig umformen lässt sich die Formel aus dem Lernmodul Geraden erreichen: \begin{eqnarray*} f(x)&=&mx+c\\ &=&\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x+y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1\\ &=&\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1+y_1\\ &=&\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1\\ &=&\frac{(y_2-y_1)(x-x_1)}{x_2-x_1}+y_1\\ \end{eqnarray*}

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