Definition: Polynomfunktion

Eine Funktion der folgenden Form heißt Ploynomfunktion n. Grades oder auch kurz Polynom n. Grades:

\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_2x^2+a_1x^1+a_0x^0\\ =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*} Dabei sind $a_n, a_{n-1},a_{n-2},..., a_2, a_1,a_0 \in \mathbb{R}$ und $a_n\neq 0$.

Beispiel 1. Polynomfunktionen
Beispiele

  1. $f(x)=5x^4+2x-1$ ist eine Polynomfunktion vierten Grades

  2. $g(x)= 3x^7+5x^2-x$ ist eine Polynomfunktion siebten Grades

  3. $h(x)=x^3+2x^2+x+1$ ist eine Polynomfunktion dritten Grades

  4. alle Geraden sind Polynomfunktionen ersten Grades

  5. alle quadratischen Funktionen sind Polynomfunktionen zweiten Grades

http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/Polynomfunktionen/Beispiele.png

Gegenbeispiele

  1. $f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$

  2. $g(x)=\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}$

  3. $h(x)=\frac{2x-1}{3x+4}$

http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/Polynomfunktionen/Gegenbeispiel.png

Polynomfunktionen ersten und zweiten Grades sind "leicht" zu analysieren. Nullstellen dieser Funktionen sind einfach zu berechnen. Die grobe "Form" (Gerade oder Parabel) und ihre Richtung (fallend/steigend oder nach oben/nach unten geöffnet) ist an Hand der Funktionsvorschrift direkt ablesbar. Der Scheitelpunkt der Parabel kann abgelesen bzw. relativ einfach berechnet werden. Symmetrie- und Monotonieverhalten der Funktionen sind klar. Wendepunkte gibt es bei beiden Funktionsarten nicht. Die Wertebereiche lassen sich angeben und Aussagen über Injektivität uns Surjektivität können allgemein getroffen werden. Daher entsteht beim Betrachten der Funktionsvorschrift (eventuell mit etwas Erfahrung) ein grobes Bild des Graphen der Funktion der dann relativ einfach spezifiziert werden kann.

Bei Funktionen höheren Grades lässt sich zwar für die Grundform $f(x)=x^n$, die Form und Eigenschaften ebenfalls einfach bestimmen:

http://rnll.fh-kl.de/~asciidoc/mv/images/Polynomfunktionen/Exponenten.png

Aber sobald mehrere Terme hinzukommen entsteht normalerweise auch kein grobes Bild des Funktionsgraphen. Um eine ungefähre Vorstellung des Graphen zu bekommen, müssen systematisch die Eigenschaften der Funktion (Symmetrie, Monotonie, Extrem- und Wendepunkte, Nullstellen, … ) berechnet werden. Dieses systematische Untersuchen der Eigenschaft wird auch Kurvendiskussion genannt. Anders als bei Polynomfunktionen ersten und zweiten Grades sind diese Funktionen mit den bisher bekannten Mitteln (aus dem Vorkurs) nicht alle machbar. Deshalb werden im nächsten Block Verfahren zu Berechnung von Nullstellen (Polynomdivision), Extrem- und Wendepunkten (Ableitungsregeln) vorgestellt und anschließend im Kapitel Kurvendiskussion diese systematische Untersuchung besprochen.