1. Anwendungskontext
Warum ist der Wirkungsgrad von Verbrennungsmotoren (z.B. Ottomotoren) so schlecht (35-40%)?
Hinweis: Begründung mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz
2. Lernziele
Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…
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… entscheiden, ob eine gegebene Funktion eine Polynomfunktion ist.
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… den Grad einer Polynomfunktion bestimmen.
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… an Hand eines selbstgewählten Beispiels erklären, was eine Polynomfunktion ist.
4. Tipps & Tricks
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Besteht eine Polynomfunktion nur aus geraden Exponenten (0,2,4,6,…) dann ist sie achsensymmetrisch (zur y-Achse).
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Besteht eine Polynomfunktion nur aus ungeraden Exponenten (1,2,3,5,…) dann ist sie punktsymmetrisch (zum Ursprung).
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Polynomfunktionen mit gerade und ungerade Exponenten sind weder Achsensymmetrisch noch Punktsymmetrisch.
5. Wissenskontrolle
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6. Zurück zum Anfang
Warum ist der Wirkungsgrad von Verbrennungsmotoren (z.B. Ottomotoren) so schlecht (35-40%)?
Hinweis: Begründung mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz
Wirkungsgrad: Maß für Effizienz von Energieumwandlungen und Übertragung. In diesem Fall soll chemische Energie (Verbrennung) in mechanische Arbeit umgewandelt werden.
Stefan-Boltzmann-Gesetz: Gibt an wie viel Energie durch Abstrahlung verloren geht. Die Formel zu dem Gesetz lautet: $P=\sigma \cdot A\cdot T^4$, wobei $\sigma$ eine Konstante ist, A die Fläche und T die Temperatur.
Lösung: Einfach ausgedrückt ist es so, dass je mehr Wärme in den Umwandlungsprozess fließt, desto mehr Arbeit entsteht. Das Ziel ist also möglichst viel Wärme (eine hohe Temperatur) in den Umwandlungsprozess fließen zu lassen. Der erste Ansatzpunkt wäre also, die Temperatur zu erhöhen. Das Stefan-Boltzmann-Gesetzt sagt nun aber aus, je höher die Temperatur, desto mehr Wärme geht durch Strahlung verloren und kann so nicht in den Umwandlungsprozess fließen. Da der Wärmeverlust aber zur vierten Potenz eingeht ist dieser Verlust zu einem gewissen Zeitpunkt stärker als der erzielte Gewinn. An diesem Punkt liegt die Effizient bei 35-40%. Mathematisch ausgedrückt: Sei T die Temperatur und T' die Temperatur die in den Umwandlungsprozess einfließt. Dann gilt $T'=T-P=T- \sigma \cdot A \cdot T^4$. Wird die Temperatur konstant erhöht ergibt sich für T eine Polynom ersten Grades (Gerade) für P ein Polynom vierten Grades. T' ist genau die Differenz der beiden Funktionen. Diese Funktion hat genau ein Maximum. An diesem Maximum ist die Umwandlungseffizienz etwa 35-40%.
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