Definition: Potenzen, Wurzel, Logarithmus
Potenzen mit natürlicher Hochzahl

Sei $a \in \mathbb{R} , n\in \mathbb{N}$. Dann ist die Potenz a hoch n definiert als das n-malige multiplizieren von a mit sich selbst: \begin{eqnarray*} a^n= \underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{n-mal} \end{eqnarray*} a heißt dabei Basis der Potenz und n Exponent der Potenz.

Potenzen mit ganzer Hochzahl

Sei $a \in \mathbb{R}\setminus\{0\} , n\in \mathbb{N}$. Dann wird die Potenz mit einer negativen Hochzahl wie folgt definiert: \begin{eqnarray*} a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} \end{eqnarray*}

n-te Wurzel

Sei $b \in \mathbb{R}^+, n\in \mathbb{N} \setminus\{1\}$. Eine nicht negative Zahl a heißt n-te Wurzel aus b wenn $a^n=b$ gilt. Geschrieben wird dafür: \begin{eqnarray*}a=\sqrt[n]{b} \end{eqnarray*} Dabei heißt n Wurzelexponent und b Radiant. Ist kein n angegeben so ist n=2 (Quadratwurzel) gemeint.

Potenz mit rationaler Hochzahl

Sei $a \in \mathbb{R}^+$. Dann wird die Potenz mit einer rationalen Hochzahl wie folgt definiert: \begin{eqnarray*}a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \end{eqnarray*}

Potenzen mit reeller Hochzahl

Potenzen mit reellen Hochzahlen haben eine kompliziertere Definition und werden daher wenn benötigt erst an entsprechender Stelle im Studium eingeführt. Die nachfolgenden Rechenregeln gelten jedoch auch für diese Art von Potenzen.

Logarithmus

Sei $a,b \in \mathbb{R}^+, n\in \mathbb{N} \setminus\{1\}$. Eine Zahl n heißt Logarithmus von b zur Basis a wenn $a^n=b$ gilt. Geschrieben wird dafür: \begin{eqnarray*}n=\log_{a}{(b)} \end{eqnarray*} Dabei heißt b Numerus und a Basis. Ist kein a angegeben so ist a=10 (dekadischer Logarithmus) gemeint. Oft wird dann auch nur lg anstatt log geschrieben. Mit ln wird der Logarithmus zu Basis e gemeint (natürlicher Logarithmus).

Beispiel 1. Potenzen, Wurzel und Logarithmus

a) $2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{2\cdot 2 \cdot 2}=\frac{1}{8}$

b) $4^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{4^1}=\sqrt{4}= 2$ weil $2^2=4$

c) $\log_{2}{(8)}=3$ weil $2^3=8$

Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass Potenzen, Wurzeln und Logarithmus eng miteinander verbunden sind. Je nachdem welche der drei Variablen in der folgenden Gleichung $a^n=b$ gesucht wird, wird eines der drei mathematischen Gebiete benötigt. Die folgende Tabelle gibt einen kurzen Überblick:

Kapitel Umgeformt Einschränkungen bekannte Größen unbekannte Größe

Potenzen

$a^n=b$

$a,n \in \mathbb{R}$

Basis a, Exponent n

Potenz b

Wurzeln

$a=\sqrt[n]{b}$

$n \in \mathbb{N}, n>1, b \in \mathbb{R}, b\leq 0$

Wurzelexponent n, Radikand b

Wurzel a

Logarithmus

$n=\log_{a}{(b)}$

$a \in \mathbb{R}\setminus\{1\}, a>0, b \in \mathbb{R}, b> 0$

Numerus b, Basis a

Logarithmus n

Die Wurzel bzw. der Logarithmus kann als Umkehroperation der Potenz aufgefasst werden. Dies bedeutet, wenn man die beiden Operationen Wurzel und Potenz (bzw. Logarithmus und Potenz) auf richtige Art und Weiße nacheinander ausführt heben sie sich gegenseitig auf:

Satz: Wurzel und Logarithmus als Umkehroperation
Zuerst n-te Wurzel dann n-te Potenz

$(\sqrt[n]{b})^n=b$

Zuerst n-te Potenz dann n-te Wurzel

$\sqrt[n]{b^n}=\begin{cases} b \quad, \quad \textit{n ungerade}\\ \pm b \quad , \quad \textit{n gerade}\end{cases}$

Zuerst Potenz zur Basis a dann Logarithmus zur Basis a

$\log_{a}{(a^n)}=n$

Zuerst Logarithmus zur Basis a dann Potenz zur Basis a

$a^{\log_{a}{(n)}}=n$

Die folgenden Gesetze gelten, soweit die Ausdrücke definiert sind:

Satz: Potenz-, Wurzel- und Logarithmusgesetze
Potenzgesetze

  1. gleiche Basis, unterschiedliche Exponenten: \begin{eqnarray*} a^n \cdot a^m= a^{n+m} \quad \textit{und} \quad \frac{a^n}{a^m}= a^{n-m}\end{eqnarray*}

  2. unterschiedliche Basen, gleiche Exponenten: \begin{eqnarray*} a^n \cdot b^n= (a \cdot b)^{n} \quad \textit{und} \quad \frac{a^n}{b^n}= \left(\frac{a}{b}\right)^n\end{eqnarray*}

  3. Potenz von Potenz: \begin{eqnarray*} (a^n)^m=a^{n\cdot m}\end{eqnarray*}

Wurzelgesetze

  1. Gleiche Wurzelexponenten, unterschiedliche Radianten: \begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b} \quad \textit{und} \quad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\end{eqnarray*}

  2. Wurzel von Wurzel: \begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\end{eqnarray*}

Logarithmusgesetze

  1. Produkt im Logarithmus: \begin{eqnarray*} \log_{a}{(bd)}=\log_{a}{(b)}+\log_{a}{(d)}\end{eqnarray*}

  2. Quotient im Logarithmus: \begin{eqnarray*} \log_{a}{(\frac{b}{d})}=\log_{a}{(b)}-\log_{a}{(d)}\end{eqnarray*}

  3. Potenz im Logarithmus: \begin{eqnarray*} \log_{a}{(b^n)}=n \cdot \log_{a}{(b)}\end{eqnarray*}

Beispiel 2. Lösen von Gleichungen mit Hilfe der Gesetze und Umformungen

a) $\lg{(\sqrt{6x+4})}=1,5$

$\lg{(\sqrt{6x+4})}=1,5$

Im ersten Schritt werden alle "unsichtbaren" Informationen hinzugefügt.

$\log_{10}{(\sqrt[2]{6x+4})}=1,5$

Im nächsten Schritt wird auf beiden Seiten 10 hoch die jeweilige Seite gerechnet.

$10^{\log_{10}{(\sqrt[2]{6x+4})}}=10^{1,5}$

Auf der linken Seite heben sich Potenz und Logarithmus auf.

$\sqrt[2]{6x+4}=10^{1,5}$

Nun werden beide Seiten quadriert (Achtung Gewinnumformung→ Probe notwendig).

$(\sqrt[2]{6x+4})^2=(10^{1,5})^2$

Auf der linken Seite heben sich Potenz und Wurzel auf. Auf der rechten Seite kann das dritte Potenzgesetz angewendet werden.

$6x+4=10^{1,5 \cdot 2}$

$6x+4=10^3$

Auf beiden Seiten wird 4 abgezogen und durch 6 geteilt.

$x=\frac{1000-4}{6}=166$

Die Probe mit den Taschenrechner ergibt, dass x=166 wirklich eine Lösung der Gleichung ist.

b) $21 \cdot 3^{2x}-7 \cdot 3^{x}=0$

$21 \cdot 3^{2x}-7 \cdot 3^{x}=0$

Auf der linken Seit wird das Kommutativgesetz angewendet.

$21 \cdot 3^{x2}-7 \cdot 3^{x}=0$

Auf der linken Seite wird das dritte Potenzgesetz angewendet.

$21 \cdot (3^{x})^2-7 \cdot 3^{x}=0$

Auf der linken Seite wird $7 \cdot 3^{x} $ ausgeklammert.

$7 \cdot 3^{x}(3 \cdot 3^{x}- 1)=0$

Auf beiden Seiten wird durch $7 \cdot 3^{x} $ geteilt. Dies ist erlaubt, weil $3^{x} $ nie Null werden kann.

$ 3 \cdot 3^{x}- 1=0 $

Auf beiden Seiten wird 1 addiert und durch3 geteilt.

$3^{x}=\frac{1}{3}$

Auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis 3 anwenden.

$\log_ {3}{(3^{x})}=\log_{3}{(\frac{1}{3})}$

Auf der linken Seite heben sich Potenz und Logarithmus auf, auf der rechten Seite wird der Bruch als Potenz geschrieben.

$x=\log_{3}{(3^{-1})}$

Auf der rechten Seite wird das dritte Logarithmusgesetz angewendet.

$x=(-1) \cdot \log_{3}{(3)}$

Auf der rechten Seite hebt sich der Logarithmus auf.

$x=-1$

Die Probe ergibt, das x=-1 wirklich eine Lösung der Gleichung ist.