Eine Quadratische Funktion hat immer die Gestalt eines Brückenbogens. Ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist, hängt vom Vorzeichen von a ab. Ist a positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet, ist a negativ ist die Parabel nach unten geöffnet. Jede quadratische Funktion in Normalform kann so umgeformt werden, dass sie in Scheitelpunktform ist und jede quadratische Funktion in Scheitelpunktform kann so umgeformt werden, dass sie in Normalform ist.
\begin{eqnarray*} f(x)&=&ax^2+bx+c\\&=& a(x^2+\frac{b}{a})+c\\&=& a(x^2+\frac{b}{a}+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2)+c\\&=& a((x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2)+c\\&=& a(x+\frac{b}{2a})^2-a(\frac{b}{2a})^2+c\\&=& a(x+\frac{b}{2a})^2-a(\frac{b^2}{4a^2})+c\\&=& a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c\\&=&a(x-p)^2+q\end{eqnarray*} mit $p=-\frac{b}{2a}$ und $q=-\frac{b^2}{4a}+c$ |
\begin{eqnarray*} f(x)&=&a(x-p)^2+q \\ &=& a(x^2-2xp+p^2)+q \\ &=& ax^2-2apx+ap^2+q\\&=&ax^2+bx+c\end{eqnarray*} mit $b=-2ap$ und $c=ap^2+q$ |
Im Rahmen späterer Theorien ist die Normalform nützlich, da quadratische Funktionen später als Polynomfunktionen kategorisiert werden und somit die dort entwickelte Theorie für quadratische Funktionen (in Normalform) gilt. Die Scheitelpunktform ist praktisch, weil an der Funktionsvorschrift direkt der Scheitelpunkt abgelesen werden kann. Der Scheitelpunkt liegt im Punkt $S(p,q)$. Die Funktion kann so sehr leicht skizziert werden. Ist ein Graph einer quadratischen Funktion gegeben, so kann mit Hilfe der Scheitelpunktform auch leicht die Funktionsvorschrift ermittelt werden.