1. Anwendungskontext
Aus einem rechteckigen Spiegel (50 cm auf 70 cm) ist eine Ecke abgebrochen. Von beiden Seite sind 15 cm abgebrochen. Aus dem kaputten Spiegel soll ein neuer rechteckiger Spiegel mit maximaler Fläche entstehen. Wie hoch und wie breit ist der neue Spiegel? Wie groß ist seine Fläche?
2. Lernziele
Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…
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… an Hand eines Beispiels erklären, was eine quadratische Funktion ist.
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… entscheiden, ob eine quadratische Funktion in Normalform oder in Scheitelpunktform vorliegt und die andere Form berechnen.
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… den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion sowohl ablesen als auch rechnerisch mit Hilfe der Scheitelpunktform bestimmen können.
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… eine quadratische Funktion skizzieren.
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… an Hand des Graphen einer quadratischen Funktion die Funktionsvorschrift bestimmen.
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… die Eigenschaften einer quadratischen Funktionen nennen und an Hand eines selbstgewählten Beispiels erklären.
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… Anwendungsaufgaben mit Hilfe einer quadratischen Funktion modellieren und diese lösen.
4. Tipps & Tricks
Mit Hilfe der Scheitelpunktform lässt sich eine quadratische Funktion leicht Verschieben. Soll die Parabel nach oben/unten verschoben werden muss p vergrößert/verkleinert werden. Soll die Parabel nach rechts/links verschoben werden muss q vergrößert/verkleinert werden.
Verschieben Sie die Funktion $f(X)=2(x-3)^2-1$ um drei nach oben und um 2 nach links.
Überprüfen Sie Ihre Lösung an Hand von GeoGebra.
$f(x)=2(x-1)^2+2$
5. Wissenskontrolle
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6. Zurück zum Anfang
Aus einem rechteckigen Spiegel (50 cm auf 70 cm) ist eine Ecke abgebrochen. Von beiden Seite sind 15 cm abgebrochen. Aus dem kaputten Spiegel soll ein neuer rechteckiger Spiegel mit maximaler Fläche entstehen. Wie hoch und wie breit ist der neue Spiegel? Wie groß ist seine Fläche?
Der Flächeninhalt des neuen Spiegels soll als Funktion, die von der x-Koordinate des Punktes P abhängig ist, beschrieben werden. Der Flächeninhalt des Spiegels lässt sich zunächst schreiben als $A=(50-x)\cdot (70-y)$. Da der Punkt P auf einer Geraden liegt, lässt sich mit Hilfe des x-Wertes des Punktes auch der y-Wert des Punktes berechnen. Dazu muss die Geradengleichung (Funktionsvorschrift der Geraden) aufgestellt werden. Der Ursprung des gewählten Koordinatensystems liegt im blauen Punkt. Der y-Achsenabschnitt ist damit bei $15$ und die Steigung der Geraden beträgt $\frac{15}{-15}=-1$. Damit lautet die Funktionsvorschrift der Geraden $f(x)=-x+15$. Daher ergibt sich für die Funktion A folgendes: \begin{eqnarray*}A(x)&=&(50-x)\cdot (70-y)\\&=& (50-x)\cdot (70-(-x+15))\\&=& (50-x) \cdot (55+x) \\&=&-x^2-5x+2750\end{eqnarray*} Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Um die Aufgabe zu lösen muss nun der Scheitelpunkt der Funktion bestimmt werden: \begin{eqnarray*}A(x)&=&-x^2-5x+2750\\&=&-(x^2+5x)+2750 \\&=& -(x^2+5x+(\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2)+2750\\&=&((x+\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2)+2750 \\&=& -(x+\frac{5}{2})^2+2756,25\end{eqnarray*} Der Scheitelpunkt liegt also bei $S(-\frac{5}{2}; 2756,25)$. Dies bedeutet, dass bei dem x-Wert von $-\frac{5}{2}$ der größte Flächeninhalt, nämlich $2756,25 cm^2$, vorliegt. Da negative x-Werte keinen Sinn ergeben, bedeutet dies für die Aufgabe, dass der größte Flächeninhalt bei $x=0$, nämlich $A(0)=2750$, vorliegt.
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