Definition: Quadratische Gleichung

Eine Quadratische Gleichung ist eine Gleichung bei der auf beiden Seiten höchsten quadratische Terme $ax^2+bx+c$) auftauchen.

Beispiel 1. Quadratische Gleichung

a) $4x^2+3x+12=7$

b) $x^2-3=3x$

c) $x^2+2x+1=7x^2+3x+2$

Im folgenden werden nun drei Möglichkeiten zur Lösung einer quadratischen Gleichung gezeigt. Es ist woichtig, dass Sie zumindest eine dieser Methoden sicher beherschen.

Satz: Lösen von quadratischen Gleichungen
Durch quadratische Ergänzung

Durch Äquivalenzumformungen wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass auf der einen Seite die erste oder zweite Binomische Formel steht und auf der anderen Seite nur noch eine reele Zahl. Anschlißend wird auf beide Seiten die Wurzel gezogen (Achtung, denken Sie an den Betrag!) um anschließend die Lösungsmenge zu bestimmen.

Mit der a,b,c-Formel

Durch Äquivalenzumformungen wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass Sie die Form $ax^2+bx+c=0$ hat. Die Lösungen ergeben sich dann durch:\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}

Mit der p,q-Formel Durch Äquivalenzumformungen wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass Sie die Form $x^2+px+q=0$ hat. Die Lösungen ergeben sich dann durch:\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}

Jede quadratische Gleichung kann durch Äquivalenzumformungen auf die geforderte Form gebracht werden. An Hand der Form, kann dann auch erkannt werden, ob die quadratische Lösungen keine, eine oder zwei Lösungen hat.

Lösungsverfahren

Kriteriumszahl

quadratische Ergänzung

die reelle Zahl die auf der Seite steht auf der nicht die Binomische Fomel ist

a,b,c-Formel

die Zahl unter der Wurzel, also $b^2-4ac$

p,q-Formel

die Zahl unter der Wurzel, also $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$

  1. Ist die Kriteriumszahl negativ, gibt es keine Lösung.

  2. Ist die Kriteriumszahl gleich 0, gibt es eine Lösung.

  3. Ist die Kriteriumszahl positiv, gibt es zwei Lösungen.

Beispiel 2. Lösen von quadratischen Gleichungen

$4(x^2+x)=-2$

$9x^2-6x=-1$

$x(x+1)=12$

Quadratische Ergänzung

\begin{eqnarray*}4(x^2+x)&=&-2\\ 4x^2+4x&=&-2 \\ 4x^2+4x+1&=&-1 \\ (2x+1)^2&=&-1 \\ \sqrt{(2x+1)^2}&=&\sqrt{-1} \\ |2x+1|&=& \textit{geht nicht} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} 9x^2-6x&=&-1\\ 9x^2-6x+1&=&0\\ (3x-1)^2&=&0\\ \sqrt{(3x-1)^2}&=&\sqrt{0}\\ |3x-1|&=&0\\ 3x-1&=&0\\ x=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} x(x+1)&=&12\\ x^2+x&=&12\\ x^2+x+\frac{1}{4}&=& 12+\frac{1}{4}\\ (x+\frac{1}{2})^2&=&\frac{49}{4}\\ \sqrt{(x+\frac{1}{2})^2}&=&\sqrt{\frac{49}{4}}\\ |(x+\frac{1}{2})|&=&\frac{7}{2}\\ x+\frac{1}{2}&=&\pm\frac{7}{2}\\ x&=& \pm\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\\ \mathbb{L}&=&\{-4,3\} \end{eqnarray*}

a,b,c-Formel

\begin{eqnarray*}4(x^2+x)&=&-2\\ 4x^2+4x&=&-2 \\ 4x^2+4x+2&=&0\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} 9x^2-6x&=&-1\\ 9x^2-6x+1&=&0 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} x(x+1)&=&12\\ x^2+x&=&12\\ x^2+x-12&=&0 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}x_{1,2}&=&\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=&\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 4\cdot 2}}{2\cdot 4}\\&=& \frac{-4\pm \sqrt{-16}}{8}\\ &=& \textit{geht nicht}\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}x_{1,2}&=&\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=&\frac{6\pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 9\cdot 1}}{2\cdot 9}\\&=& \frac{6\pm \sqrt{0}}{18}\\ &=& \frac{6}{18}=\frac{1}{3}\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}x_{1,2}&=&\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=&\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-12)}}{2\cdot 1}\\ &=&\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}\\ &=&\frac{-1\pm 7}{2}\\ \mathbb{L}&=&\{-4,3\}\end{eqnarray*}

p,q-Formel

\begin{eqnarray*}4(x^2+x)&=&-2\\ 4x^2+4x&=&-2 \\ 4x^2+4x+2&=&0 \\ x^2+x+\frac{1}{2}&=&0\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} 9x^2-6x&=&-1\\ 9x^2-6x+1&=&0 \\ x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}&=&0\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} x(x+1)&=&12\\ x^2+x&=&12\\ x^2+x-12&=&0 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} x_{1,2}&=&-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\\&=&-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}} \\ &=&-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}\\&=& -\frac{1}{2}\pm \sqrt{-\frac{1}{4}} \\ &=& \textit{geht nicht}\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} x_{1,2}&=&-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\\&=&-\frac{-\frac{2}{3}}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-\frac{2}{3}}{2}\right)^2-\frac{1}{9}}\\&=&\frac{1}{3}\pm \sqrt{\frac{1}{9}-\frac{1}{9}} \\&=& \frac{1}{3}\pm \sqrt{0} \\&=& \frac{1}{3} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} x_{1,2}&=&-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\\&=&-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-(-12)}\\&=&-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+12} \\&=&-\frac{1}{2}\pm\sqrt{49}{4}\\&=&-\frac{1}{2}\pm\frac{7}{2}\\ \mathbb{L}&=&\{-4,3\} \end{eqnarray*}