1. Anwendungskontext
Sie besitzen ein Grundstück an einer Straßenecke. Das Grundstück ist 32 Meter auf 25 Meter groß. Die Stadt möchte nun einen Radweg anlegen. Dazu braucht Sie einen Teil Ihres Grundstücks (sowohl Länger als auch Breite). Als Kompensation bietet Sie Ihnen an die Breite Ihres Grundstückes um 5Meter zu vergrößern. Wie breit darf der Radweg sein, damit Ihr Grundstück hinterher genauso groß ist wie vorher?
2. Lernziele
Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…
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… an Hand eines Beispiels erklären, was eine quadratische Gleichung ist.
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… entscheiden, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat.
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… die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung bestimmen.
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… Anwendungsprobleme mit Hilfe von quadratischen Gleichungen lösen.
4. Tipps & Tricks
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Häufiger Fehler
Finden Sie den häufig gemachten Fehler und korrigieren Sie ihn: \begin{eqnarray*} 4x^2+12x+5&=&0 \\ 4x^2+12x+9&=&4 \\ (2x+3)^2&=&4 \\ 2x+3&=&2 \\ 2x&=&-1 \\ x&=&-\frac{1}{2} \end{eqnarray*} Also lautet die Lösungsmenge der Gleichung $\mathbb{L}=\{-\frac{1}{2}\}$. |
5. Wissenskontrolle
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6. Zurück zum Anfang
Sie besitzen ein Grundstück an einer Straßenecke. Das Grundstück ist 32 Meter auf 25 Meter groß. Die Stadt möchte nun einen Radweg anlegen. Dazu braucht Sie einen Teil Ihres Grundstücks (sowohl Länger als auch Breite). Als Kompensation bietet Sie Ihnen an die Breite Ihres Grundstückes um 5Meter zu vergrößern. Wie breit darf der Radweg sein, damit Ihr Grundstück hinterher genauso groß ist wie vorher?
Wenn der neue Flächeninhalt genau so groß sein soll, wie der alte Flächeninhalt muss gelten: \begin{eqnarray*} 32 \cdot 25 &=& (37-x)\cdot (25-x)\\ 800&=&925-62x+x^2\\ 0&=&125-62x+x^2 \end{eqnarray*} Nun kann die Lösung der quadratischen Gleichung bestimmt werden, zum Beispiel mit Hilfe der a,b,c-Formel \begin{eqnarray*} x_{1,2}&=&\frac{62\pm \sqrt{62^2-4\cdot 125}}{2}\\ &=& \frac{62\pm \sqrt{3844-500}}{2}\\ &=& \frac{62\pm \sqrt{3344}}{2} &\approx& \frac{62 \pm 57,83}{2}\\ &=&\begin{cases} 59,915 \\ 2,085 \end{cases} \end{eqnarray*} Die erste Lösung kann nicht sein, da $x<25$ gelten muss. Also darf der Radweg höchsten 2,085 Meter breit sein.
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