Satz: Rechnen mit reellen Zahlen

Die folgenden Rechengesetze gelten für die Addition bzw. Multiplikation reeller Zahlen und können benutzt werden um Terme zu vereinfachen bzw. umzuformen.

Klammernregel

Ausdrücke, die in Klammern stehen, müssen zuerst berechnet werden.

Distributivgesetzt

Mit Hilfe des Distributivgesetzes können Klammern aufgelöst werden: \begin{eqnarray*} a\cdot (b+c)= a\cdot b + a\cdot c \\ (a+b) \cdot c = a\cdot c + b \cdot c \end{eqnarray*}

Potenz-vor-Punkt-vor-Strich-Regel

Gibt es keine Klammern mehr werden Potenzen vor Multiplikationen vor Additionen durchgeführt.

Assoziativgesetz

Die Reihenfolge in der mehrere Zahlen addiert (bzw. multipliziert) spielt keine Rolle: \begin{eqnarray*} a+(b+c)=a+b+c=(a+b)+c\\ a \cdot (b \cdot c)= a\cdot b \cdot c= (a\cdot b) \cdot c \end{eqnarray*}

Kommutativgesetz

Die Summanden einer Addition (bzw. die Faktoren einer Multiplikation) können beliebig vertauscht werden. \begin{eqnarray*} a+b=b+a\\ a \cdot b = b \cdot a \end{eqnarray*}

Minus mal Minus ist Plus

Werden zwei negative Zahlen multiplizieren ergibt sich eine positive Zahl.

Wikipedia liefert folgende anschauliche Erklärung eines mathematischen Terms (mehr Informationen (Beispiele, Erklärungen,…) erhält man auf der angegebenen Homepage):

In der Mathematik bezeichnet ein Term einen sinnvollen Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind die … korrekt gebildeten Wörter … in der formalen Sprache der Mathematik.

Wikipedia
— http://de.wikipedia.org/wiki/Term

Terme im Sinne des obigen Satzes sind also Ausdrücke mit

  • reellen Zahlen,

  • Variablen, die für reelle Zahlen stehen

  • Additions- und Multiplikationszeichen sowie

  • Klammern.

Ein typisches Beispiel für einen solchen Term ist zum Beispiel der Term, der einen die monatliche Handyrechnung eines Vertrages (monatlicher Grundpreis 9,90 € und für jede Minute 6 Cent) mit Hilfe der monatlich telefonierten Minuten x berechnen lässt:

$0,06\cdot x+9,90$

Bevor nun die obigen Rechenregeln an einem Beispiel erläutert werden, werden zunächst noch die Subtraktion und die Division von reellen Zahlen definiert.

Definition: Subtraktion und Division

Seien $a,b \in \mathbb{R}$ dann ist die Subtraktion und die Division wie folgt definiert: \begin{eqnarray*} a-b = a + (-b)\\ a : b = a \cdot \frac{1}{b} \end{eqnarray*}

Diese Definition klingt vielleicht etwas künstlich, aber nun kann die Subtraktion bzw. die Division auf die Addition bzw. die Multiplikation zurückgeführt werden. Somit werden "nur" noch Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation benötigt, da diese auf die Subtraktion und Division verallgemeinert werden können. Mit einem Schlag kann nun der obige Satz auch auf Terme erweitert werden, die zusätzlich noch Subtraktions- und Divisionszeichen haben.

Anmerkung
Neutrale und Inverse Elemente

Damit Sie es schon mal gehört haben:

  • Die 0 ist das neutrale Element der Addition, da man zu jeder beliebigen reellen Zahl a die 0 dazu addieren kann ohne die Zahl zu ändern: \begin{eqnarray*} a+0=a \end{eqnarray*}

  • Die 1 ist das neutrale Element der Multiplikation, da man zu jeder beliebigen reellen Zahl a die Zahl 1 dazu multiplizieren kann ohne die Zahl zu ändern: \begin{eqnarray*} a\cdot 1=a \end{eqnarray*}

  • Das -b aus obiger Definition wird auch das zu b Inverse Element bezüglich der Addition genannt. Jede reelle Zahl b besitzt ein solches additives Inverses. Addiert man eine reelle Zahl b mit ihrem additiven Inversen ergibt sich immer 0: \begin{eqnarray*} b + (-b) = 0 \end{eqnarray*}

  • Das $\frac{1}{b}$ aus obiger Definition wird auch das zu b Inverse Element bezüglich der Multiplikation genannt. Jede reelle Zahl b ungleich Null besitzt ein solches multiplikatives Inverses. Multipliziert man eine reelle Zahl b ungleich 0 mit ihrem multiplikativen Inversen ergibt sich immer 1: \begin{eqnarray*} b \cdot \frac{1}{b} = 1 \end{eqnarray*}

Nun das versprochene Beispiel:

Beispiel 1. Vereinfachen von Termen

Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck: \begin{eqnarray*}2a(3+x)-(7a-ax)+(3+2)=\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &=& 2a(3+x)-(7a-ax)+\color{red}{5} \quad \end{eqnarray*}

berechenbare Klammer (dritte Klammer) wird berechnet

\begin{eqnarray*} =\color{red}{2a\cdot 3+ 2a \cdot x} -(7a-ax) + 5 \quad \end{eqnarray*}

erste Klammer mit Hilfe des Distributivgesetzt aufgelöst}

\begin{eqnarray*} = 2a \cdot 3+ 2a \cdot x - \color{red}{1}\cdot (7a-ax) +5 \quad \end{eqnarray*}

neutrales Element der Multiplikation vor die verbleibende Klammer geschrieben

\begin{eqnarray*} = 2a \cdot 3+ 2a \cdot x \color{red}{+ (- 1)}\cdot (7a\color{red}{+(-ax)}) +5 \quad \end{eqnarray*}

Subtraktionen in Additionen verwandelt

\begin{eqnarray*} = 2a \cdot 3+ 2a \cdot x + \color{red}{(-1)\cdot 7a+(-1)\cdot (-ax)} +5 \quad \end{eqnarray*}

Klammer mit Hilfe des Distributivgesetzt aufgelöst

\begin{eqnarray*} = 2\color{red}{\cdot 3\cdot a} +2ax+(-7a)+ax+5 \quad \end{eqnarray*}

Kommutativgesetzt um 3 und a zu vertauschen, Minus-mal-Minus ist Plus

\begin{eqnarray*} = \color{red}{6}a+2ax+(-7a)+ax+5 \quad 2\cdot 3\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} = 6a+\color{red}{(-7a)+2ax}+ax+5 \quad \end{eqnarray*}

2ax und -7a vertauscht

\begin{eqnarray*} = \color{red}{(-a)+3ax}+5 \quad \end{eqnarray*}

passende Terme addiert

\begin{eqnarray*} = \color{red}{-a}+3ax+5 \quad \end{eqnarray*}

Klammern weggelassen