Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck:
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Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt heißt Hypotenuse (im Bild ist dies die Seite c).
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Die Seiten, die am rechten Winkel anliegen heißen Katheten (im Bild sind dies die Seiten a und b).
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Die Kathete, die dem Winkel $\alpha$ gegenüberliegt heißt Gegenkathete von $\alpha$ (im Bild ist dies die Seite a).
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Die Kathete, die am Winkel $\alpha$ liegt heißt Ankathete von $\alpha$ (im Bild ist dies die Seite b).
Analog werden die Gegen- und Ankathete von $\beta$ definiert.
Der oben formulierte Satz enthält eine wenn dann Aussage. Das heißt, er beinhaltet zwei Aussagen auf einmal. Zum einen gilt, liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor, dann gilt obige Beziehung zwischen den Katheten und der Hypotenuse. Zum anderen, gilt obige Beziehung zwischen den Katheten und der Hypotenuse, dann liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor. Beide Richtungen werden in Anwendungskontexten benutzt.
Zwei Handwerker tragen einen 60 cm tiefen und 2,20 m hohen Schrank in einen Raum. Dort soll der auf dem Boden liegende Schrank aufgestellt werden. Der Raum ist 2,40 m hoch. Ist es möglich den Schrank auf diese Weise aufzustellen? Wie hoch dürfte ein Schrank sein, um ihn so in diesem Raum aufstellen zu können?
Um zu herauszufinden, ob der Schrank so aufgestellt werden kann, muss die Diagonale des Schranks berechnet werden. Da der Schrank einen (eigentlich sogar vier) rechte Winkel hat und die Längen der Katheten bekannt sind, kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Länge der Diagonale berechnet werden. \begin{eqnarray*} c^2&=&a^2+b^2\\ &=& 2,20^2+0,6^2 &=& 5,2\\ c&\approx& 2,28 \end{eqnarray*} Da die Diagonale kleiner als 2,40 m ist, lässt sich der Schrank so aufstellen. Wie hoch der Schrank maximal sein dürfte, lässt sich ebenfalls mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen: \begin{eqnarray*} c^2&>&a^2+b^2\\ 2,4^2&>& a^2+0,6^2 a^2&<&2,4^2-0,6^2\\ a^2&<&5,4 a&<& 2,32 \end{eqnarray*} Der Schrank darf maximal 2,32 m hoch sein.
In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Verhältnisse der Seite bei einem vorgegebenen Winkel (Die Größe aller drei Winkel ist somit bekannt, da die Summe der Winkel 180 Grad sein muss.) gleich. Da diese Verhältnisse in vielen Gebieten auftauchen bekommen sie bestimmte Namen:
Mit Hilfe dieser Definition lassen sich in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe weniger bekannter Angaben alle Seitenlängen und die Größe aller Winkel berechnen.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel ist einer der Winkel 30 Grad. Die Länge der Hypotenuse beträgt 8 cm. Wie lange sind die anderen Seiten des Dreiecks?
Es gilt: \begin{eqnarray*} \sin(\alpha)&=&\frac{\textit{Gegenkathete von } \alpha}{ Hypotenuse}\\ \sin(30)&=&\frac{\textit{Gegenkathete von } \alpha}{ 8}\\ 0,5 &=&\frac{\textit{Gegenkathete von } \alpha}{ 8}\\ 4&=&\textit{Gegenkathete von } \alpha \end{eqnarray*}
Die Länge der dritten Seite lässt sich analog oder mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. \begin{eqnarray*} b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{8^2-4^2}= \sqrt{48}\approx 6,93 \end{eqnarray*}
Wird im ersten Quadranten (positive x- und y-Richtung) ein beliebiger Punkt auf den Einheitskreis (das ist der Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und dem Radius 1) gezeichnet, so steht in der x-Koordinate des Punktes der Sinus des Winkels zwischen der positiven x-Achse und dem Punkt. In der y-Koordinate steht entsprechend der Cosinus des Winkels zwischen der positiven y-Achse und dem Punkt.
Dies gilt, da im eingezeichneten Dreieck für Sinus und Cosinus die folgenden Bedingungen gelten:
\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=\frac{x}{1}=x \\ \sin(\alpha)=\frac{y}{1}=y \\ \end{eqnarray*}
Wird dieser Ansatz für alle Winkel größer als 90 Grad oder kleiner als 0 Grad verallgemeinert und der Cosinus als x-Koordinate und der Sinus als y-Koordinate definiert, so entstehen die folgenden Funktionen.
Herleitung der Graphen (Achtung die Winkel sind hier im Bogenmaß):
Definitionsmenge: Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ Zielmenge: $[-1,1$]
Dabei wiederholen sich Sinus und Cosinus nach jeweils 360 Grad. Deshalb heißen sie auch periodischen Funktionen mit Phasenlänge 360 Grad bzw. $2\pi$. Die Sinusfunktion ist Punktsymmetrisch (zum Ursprung) und der Cosinus Achsensymmetrisch (zur y-Achse). Außerdem ergibt sich aus dieser Verallgemeinerung und dem Satz des Pythagoras sofort die folgende Beziehung.