1. Anwendungskontext
Im Zusammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken gibt es sehr viele wichtige mathematische Konzepte. Der Satz des Pythagoras und die Winkelfunktionen sind zwei sehr elementare Themen dieses Moduls. Neben innermathematischen Anwendungen, zum Beispiel die Flächenberechnung eines Kreissegments im Modul "Die Zahl Pi", gibt es auch sehr viele praktische Anwendungsgebiete. Bei der Entfernungs- und Höhenmessung sowohl im Baubereich auch als in der Geografie sowie in der Luftfahrt werden immer wieder Winkelfunktionen benutzt um die nicht direkt messbaren Größen zu berechnen.
Ein 1,80 m großer Mensch visiert einen 20 m entfernten Baum an. Der Winkel zwischen Spitze und Wurzel ist etwa 19 Grad. Wie hoch ist der Baum?
Bauarbeiter benutzen die Umkehrung des Satz des Pythagoras um exakte rechte Winkel zu bekommen. Wie könnte das gehen?
2. Lernziele
Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…
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… an einem Dreieck die Ankathete, die Gegenkathete und die Hypotenuse einzeichnen.
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… den Satz des Pythagoras an einem Beispiel erklären.
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… mit Hilfe des Satz von Pythagoras unbekannte Größen (Winkel und Seitenlängen) in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen.
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… mit Hilfe des Satz von Pythagoras entscheiden, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt.
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… die Definition des Sinus, Cosinus und Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck angeben.
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… mit Hilfe von Sinus, Cosinus und Tangens unbekannte Größen (Winkel und Seitenlängen) in einem rechtwinkligen Dreieck bestimmen.
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… Anwendungsaufgaben aus dem Bereich Pythagoras und Winkelfunktionen lösen.
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… an Hand des Einheitskreises die Form der Sinus- Cosinusfunktion erklären.
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… erklären, was eine periodische Funktion ist.
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… wichtige Eigenschaften der Sinus- und Cosinusfunktion benennen und erklären.
4. Tipps & Tricks
Merksätze für die Definitionen der Winkelfunktionen:
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Gaga-Hummel-Hummel-AG
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Gaga-Hühnerhof-AG
Beides führt zu:
\begin{eqnarray*} \frac{GAGA}{HHAG} \quad bzw. \quad \frac{G}{H} \quad und \quad \frac{A}{H} \quad und \quad \frac{G}{H} \quad und \quad \frac{H}{G} \end{eqnarray*}
Der erste Bruch steht für den Sinus (Gegenkathete durch Hypotenuse), der zweite Bruch für den Cosinus (Ankathete durch Hypotenuse), der dritte Bruch für den Tangens (Gegenkathete durch Ankathete) und der letzte Bruch für den Kotangens (Ankathete durch Gegenkathete).
5. Wissenskontrolle
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6. Zurück zum Anfang
Im Zusammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken gibt es sehr viele wichtige mathematische Konzepte. Der Satz des Pythagoras und die Winkelfunktionen sind zwei sehr elementare Themen dieses Moduls. Neben innermathematischen Anwendungen, zum Beispiel die Flächenberechnung eines Kreissegments im Modul "Die Zahl Pi", gibt es auch sehr viele praktische Anwendungsgebiete. Bei der Entfernungs- und Höhenmessung sowohl im Baubereich auch als in der Geografie sowie in der Luftfahrt werden immer wieder Winkelfunktionen benutzt um die nicht direkt messbaren Größen zu berechnen.
Ein 1,80 m großer Mensch visiert einen 20 m entfernten Baum an. Der Winkel zwischen Spitze und Wurzel ist etwa 19 Grad. Wie hoch ist der Baum?
Als erstes eine Skizze anfertigen.
Der Winkel $\alpha$ beträgt 19 Grad. Es wird die Länge der Strecke CF benötigt. Dazu wird zunächst der Winkel $\alpha$ unterteilt in $\alpha_1$ und $\alpha_2$. $\alpha_1$ ist der Teil von $\alpha$ der im Dreieck ABF liegt. Die Größe dieses Winkels kann mit Hilfe von Tangens berechnet werden: \begin{eqnarray*}tan(\alpha_1)=\frac{1,80}{20} \quad \Rightarrow \quad \alpha_1=tan^{-1} \frac{1,80}{20} \approx 5,14. \end{eqnarray*} Damit ist $\alpha_2=20-5,14=14,86$. Wieder mit Hilfe des Tangens lässt sich dann die Länge der Strecke CF berechnen: \begin{eqnarray*}tan(14,86)=\frac{CF}{20} \quad \Rightarrow \quad CF=tan(14,86) \cdot 20 \approx 5,31. \end{eqnarray*} Der Baum ist also $5,31+1,80=7,11$ Meter hoch.
Bauarbeiter benutzen die Umkehrung des Satz des Pythagoras um exakte rechte Winkel zu bekommen. Wie könnte das gehen?
Mit Hilfe von 3-4-5 oder einer Zwölfkontenschnur. Wenn man an einer Seite 3 Einheiten abmisst und an der anderen Seite 4 Einheiten, dann muss die Verbindung genau 5 Einheiten damit ein rechter Winkel vorliegt. Eine Zwölfknotenschnur ist ein Seil, welches durch Knoten in 12 gleiche Teile unterteilt wird. Mit diesem Seil lässt sich ein Dreieck mit den Seitenverhältnissen 3:4:5 erzeugen. Da dieses Dreieck die Bedingung $3^2 + 4^2 = 5^2$ erfüllt, erzeugt das Seil ein rechtwinkliges Dreieck.
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