Definition: Summen- und Produktzeichen

\begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{k=a}^{n} f(k):=f(a)+f(a+1)+f(a+2)+...+f(n-1)+f(n) \\ &&\prod\limits_{k=a}^{n} f(k):=f(a) \cdot f(a+1) \cdot f(a+2) \cdot ... \cdot f(n-1) \cdot f(n) \end{eqnarray*}

Das Summen- bzw. Produktzeichen ist nichts weiter als eine abkürzende Schreibweise für eine regelmäßige Summe bzw. ein regelmäßiges Produkt. Regelmäßig bedeutet in diesem Zusammenhang, dass in einen Term (hier dargestellt durch f(k)) bestimmte Werte (hier natürliche Zahlen von a bis n) für k eingesetzt werden. Unter dem Zeichen stehen dabei der Index (hier k) und der Anfangswert (hier a). Außerdem können hier auch weitere Bedingungen stehen, z. B. k soll gerade sein oder eine Primzahl oder aus einer bestimmten Menge (siehe nachfolgende Beispiele). Oberhalb des Zeichens kann der Endwert (hier n) stehen. Dieser kann sich auch aus der Bedingung unterhalb der Summe ergeben. Nach der Summe steht dann der Term. Hier einige Beispiele:

Beispiel 1. Beispiel Summen- und Produktzeichen

\begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{k=0}^{5} k=0+1+2+3+4+5=15 \\ &&\prod\limits_{k=4}^{6} k=4 \cdot 5 \cdot 6=120 \\ &&\sum\limits_{k=3}^{5} 2k+3=2\cdot 3+3+2\cdot 4+3+2\cdot 5+3=33 \\ &&\prod\limits_{k=1}^{3} 2^k-1=(2^1-1) \cdot (2^2-1) \cdot (2^3-1) =21\\ &&\sum\limits_{k=2, k gerade}^{6} k-1=2-1+4-1+6-1=9 \\ &&\prod\limits_{k=3, k Primzahl}^{11} k=3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11=1155 \\ \end{eqnarray*}

Eine weitere abkürzende Schreibweise ist die Fakultät einer natürlichen Zahl.

Definition: Fakultät

Sei $n\in\mathbb{N}$. Dann gilt: \begin{eqnarray*} n!:=\prod\limits_{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdot ... \cdot (k-1) \cdot k \end{eqnarray*}

Beispiel 2. Beispiel Fakultät

\begin{eqnarray*} 5!&=&1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5=120\\ 3!&=&1\cdot 2\cdot 3=6 \end{eqnarray*}

Mit Hilfe der Fakultät kann der der Binomialkoeffizient eingeführt werden. An dieser Stelle soll lediglich die Bedeutung des Binomialkoeffizienten und die Formel zur Berechnung angegeben werden. Eine exakte mathematische Einführung und Begründung wird den Grundlagenvorlesungen überlassen. Sowohl n als auch k sind im kommenden Abschnitt natürliche Zahlen und es gilt $n\geq k$.

Der Binomialkoeffizient $ {n \choose k} $ (sprich: n über k) gibt an wie viele k-elementige Mengen aus einer n-elementigen Menge ausgewählt werden können. Das klassische Beispiel ist hier das Lottospiel. Wie viele Möglichkeiten gibt es aus den 49 Kugel (hier ist n=49) genau 6 Kugel (hier ist k=6) auszuwählen? Es sind $ {49 \choose 6} $. Ein etwas alberneres Beispiel wäre: In meinem Schrank liegen 15 verschiedene einzelne Socken. Wie viele Tage kann ich verschiedene Kombinationen ausprobieren (nur vertauschen zählt hier nicht als neue Kombination). Auch hier ist die Antwort $ {15 \choose 2} $. Überlegen Sie sich noch mindestens ein weiteres Beispiel.

Satz: Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient $ {n \choose k} $ lässt sich mit Hilfe der folgende Formel berechnen: \begin{eqnarray*} {n \choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}

Dazu abschließend noch einige Beispiele:

Beispiel 3. Beispiel Binomialkoeffizient

\begin{eqnarray*} &&{15 \choose 2} =\frac{15!}{2!(15-2)!}=\frac{15!}{2!\cdot 13!}=105\\ &&{4 \choose 2} =\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2! \cdot 2!}=6\\ &&{7 \choose 5} =\frac{7!}{5!(7-5)!}=\frac{7!}{5! \cdot 2!}=21\\ \end{eqnarray*}