Ungleichungen

Definition: Ungleichung

Eine Ungleichung besteht aus zwei mathematischen Termen, die durch ein Ungleichheitszeichen verbunden sind. Ungleichheitszeichen sind: größer, kleiner, größergleich und kleinergleich. Wie bei Gleichungen, die mindestens eine Variable haben, hängt der Wahrheitsgehalt der Ungleichung von dem eingesetzten Wert für die Variable ab. Werte für die Variable, für die die Ungleichung wahr wird, heißen Lösungen der Ungleichung. Alle Lösungen der Ungleichung werden in einer Menge, der Lösungsmenge, zusammengefasst.

Beispiel 1. Ungleichungen

Elementare Ungleichung: $3x+2<7x+3$ mit der Lösungsmenge $ \mathbb{L}=(-\frac{1}{4},\infty)$
Quadratische Ungleichung: $x^2\leq 9$ mit der Lösungsmenge $ \mathbb{L}=[-3,3]$
…

Im Mathevorkurs interessieren uns nur elementare Ungleichungen. Dies sind Ungleichungen, die auf der linken und rechten Seite lineare Terme (ax+b) haben.

Satz: elementare Ungleichungen lösen

Durch Termumformungen

Jede Seite einer Ungleichung (also jeder der beiden Terme) kann unabhängig von der anderen Seite mit Hilfe von gültigen Rechenregeln vereinfacht werden. Mögliche Rechenregeln sind:

Distributivgesetzt: $a(b+c)=ab+ac$
Kommutativgesetz: $ab=ba$ bzw. $a+b=b+a$
Bruchrechenregeln
…

Durch Äquivalenzumformungen

Eine elementare Ungleichung kann durch Äquivalenzumformungen so umgeformt werden, dass die ursprüngliche Gleichung dieselbe Lösungsmenge besitzt wie die umgeformte Gleichung. Mögliche Äquivalenzumformungen sind:

die Addition (bzw. Subtraktion) einer beliebigen Zahl auf beiden Seiten.
die Multiplikation (bzw. Division) einer beliebigen Zahl größer Null auf beiden Seiten.
die Multiplikation (bzw. Division) einer beliebigen Zahl kleiner Null auf beiden Seiten und das Drehen des Ungleichzeichens.

Graphisch

Beide Terme werden als lineare Funktion in ein Schaubild eingetragen, danach kann der Schnittpunkt und das Lösungsintervall abgelesen werden.

Beispiel 2. elementare Ungleichungen lösen

Gesucht wird die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung: $8x+3\geq 7(x-1)+2x$

\begin{eqnarray*}8x+3\geq 7(x+1)+2x\end{eqnarray*}

Distributivgesetz auf der rechten Seite anwenden

\begin{eqnarray*}8x+3\geq 7x+7+2x\end{eqnarray*}

rechte Seite zusammenfassen

\begin{eqnarray*}8x+3\geq 9x+7\end{eqnarray*}

auf beiden Seiten 9x subtrahieren

\begin{eqnarray*}8x+3 - 9x \geq 9x+7-9x \end{eqnarray*}

beide Seiten zusammenfassen

\begin{eqnarray*}3 - x \geq 7 \end{eqnarray*}

auf beiden Seiten 3 subtrahieren

\begin{eqnarray*}3 - x -3 \geq 7 -3 \end{eqnarray*}

beide Seiten zusammenfassen

\begin{eqnarray*} - x \geq 4 \end{eqnarray*}

beide Seiten mit -1 multiplizieren und das Ungleichzeichen drehen

\begin{eqnarray*} x \leq -4 \end{eqnarray*}

Die Lösungsmenge lautet also $ \mathbb{L}=(-\infty,-4]$

Einzeichnen der beiden Terme in ein Schaubild ergibt die gleiche Lösungsmenge: