1. Anwendungskontext
Eine Firma möchte Stoffhasen verkaufen. Die Fixkosten, die der Firma dabei entstehen sind f Euro. Außerdem kostet die Herstellung eines Stoffhasens h Euro. Jeder Stoffhase soll anschließend für v Euro verkauft werden. Ab wie vielen verkauften Stoffhasen macht die Firma einen Gewinn. Welche Möglichkeiten hätte die Firma diese Anzahl zu senken?
2. Lernziele
Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…
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… eine Ungleichung erkennen.
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… die Begriffe Ungleichung und Lösungsmenge einer Ungleichung erklären und an Beispielen erläutern.
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… zulässige Äquivalenzumformungen für elementare Ungleichungen nennen und mit deren Hilfe die Lösungsmenge von Ungleichungen bestimmen.
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… Anwendungsaufgaben mit Hilfe von elementaren Ungleichungen beschreiben und diese lösen.
4. Tipps & Tricks
Am einfachsten gibt man die Lösungsmenge mit Hilfe von Intervallen an.
\begin{eqnarray*} 2x+4&\leq&6\\ 2x&\leq&2\\ x&\leq&1 \end{eqnarray*} Also lautet die Lösungsmenge $\mathbb{L}=(-\infty, 1]$.
5. Wissenskontrolle
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6. Zurück zum Anfang
Eine Firma möchte Stoffhasen verkaufen. Die Fixkosten, die der Firma dabei entstehen sind f Euro. Außerdem kostet die Herstellung eines Stoffhasens h Euro. Jeder Stoffhase soll anschließend für v Euro verkauft werden. Ab wie vielen verkauften Stoffhasen macht die Firma einen Gewinn. Welche Möglichkeiten hätte die Firma diese Anzahl zu senken?
Die Kosten, die bei der Herstellung von x Stoffhasen entstehen, kann durch die die Funktion K(x)=hx+f dargestellt werden. Die Einnahmen bei x verkauften Stoffhasen, kann durch die Funktion E(x)=vx dargestellt werden. Gesucht sind nun die x für die, die Funktion K(x) kleiner ist als die Funktion E(x). Also alle x, für die die Ungleichung K(x)<E(x) wahr ist. \begin{eqnarray*} K(x)&<&E(x)\\ hx+f&<&vx \\ f&<&vx-hx\\ f&<&(v-h)x \\ \frac{f}{v-h}&<&x \end{eqnarray*} Der letzte Schritt ist erlaubt, da $v-h>0$. Die Zahl $\frac{f}{v-h}$ wird kleiner, wenn entweder der Zähler kleiner wird, also wenn die Fixkosten f reduziert werden, oder wenn der Nenner Größer wird. Der Nenner kann großer werden indem v größer wird, also der Verkaufspreis steigt, oder wenn h kleiner wird, wenn also die Materialkosten sinken.
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