Vektoren

Definition: Vektor

Ein n-dimensionaler Vektor ist algebraisch ein geordnetes n-Tupel an Zahlen. Geometrisch können Vektoren als Pfeile (bzw. Pfeilklassen) aufgefasst werden:

\begin{eqnarray*} x=\left( \begin{array}{cccc} x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n \end{array} \right) \end{eqnarray*}

Die $x_1, x_2,..., x_n$ sind dabei reelle Zahlen.

Alle Pfeile, die in die gleiche Richtung zeigen und die gleiche Länge haben, werden durch den gleichen Vektor dargestellt. Anstelle von Richtung wird in der Mathematik von Orientierung des Vektors gesprochen. Die erste Zahl gibt dabei an, wie viele Einheiten nach rechts/links gegangen wird. Die zweite Zahl gibt an, wie viele Einheiten nach hinten/vorne bzw. nach/oben unten gegangen wird… Die Reihenfolge kann dabei willkürlich festgelegt werden. Üblich sind die folgenden Konventionen für 2D:

2-dimensional: Der 1. Eintrag nach rechts/links, also in Richtung x-Achse und der 2. Eintrag nach oben/unten, also in Richtung y-Achse.

Bereits im 3-dimensionalen gibt es unterschiedliche Konventionen. Im Vorkurs wird die folgende benutzt:

3-dimesnional: Der 1. Eintrag nach vorne/hinten, der 2. Eintrag nach rechts/links und der 3. Eintrag nach oben/unten.

In diesem Fall ist dann die x-Achse die Ebene die "aus der Papier-/Bildschirmebene heraus kommt" die y-Achse, die Achse, die nach rechts und links läuft und die z-Achse ist die Achse, die nach oben bzw. unten verläuft.

Beispiel 1. 2-dimensionaler Vektor

\begin{eqnarray*} x=\left( \begin{array}{cc} 2\\5 \end{array} \right) \end{eqnarray*}

Beispiel 2. 3-dimensionaler Vektor

\begin{eqnarray*} x=\left( \begin{array}{cc} -2\\5\\1 \end{array} \right) \end{eqnarray*}

Anschaulich wird nun auch sofort klar, wie man die Addition zweier Vektoren bzw. die Multiplikation mit einer Zahl definieren kann:

Beispiel 3. Addition Skalarmultiplikation

Die Addition zweier Vektoren kann als Aneinanderreihung der beiden Vektoren aufgefasst werden. Im obigen Beispiel kann anstelle von 1 Schritt nach rechts und drei Schritte nach oben (Vektor a) plus fünf Schritte nach rechts und zwei Schritte nach oben (Vektor b) auch gleich 6 Schritte nach rechts und 5 Schritte nach oben (Vektor a+b) gegangen werden.

Genauso kann ein Vektor mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden. Hier wird dann der Vektor so oft aneinandergehängt, wie die Zahl angibt. Im obigen Beispiel kann anstatt drei Mal zwei Schritte nach links und ein Schritt nach oben gegangen zu werden auch einfach 6 Schritte nach links und drei nach oben gegangen werden.

Mit Hilfe dieser Überlegungen lässt sich nun die Addition und die Skalarmultiplikation auf Vektoren definieren, indem man die Rechenoperation einfach komponentenweise ausführt. Es ergibt sich hieraus auch direkt, dass bei der Addition die Vektoren die gleiche Dimension haben müssen.

Definition: Addition und Skalarmultiplikation

Seien a und b zwei n-dimensionale Vektoren, dann ist die Vektoraddition definiert als:

\begin{eqnarray*} a+b=\left( \begin{array}{cccc} a_1\\a_2\\ \vdots\\a_n \end{array} \right)+ \left( \begin{array}{cccc} b_1\\b_2\\ \vdots\\b_n \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cccc} a_1+b_1\\a_2+b_2\\ \vdots\\a_n+b_n \end{array} \right) \end{eqnarray*}

Sei a ein n-dimensionale Vektor und s ein Skalar (also eine reelle Zahl), dann ist die Skalarmultiplikation definiert als:

\begin{eqnarray*} s\cdot a=s\cdot \left( \begin{array}{cccc} a_1\\a_2\\ \vdots\\a_n \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cccc} s\cdot a_1\\s \cdot a_2\\ \vdots\\ s\cdot a_n \end{array} \right) \end{eqnarray*}

Eine kleine Bemerkung zu dem $+$ bzw. dem $\cdot$ das zwischen den beiden Vektoren bzw. zwischen dem Skalar und dem Vektor steht. Es handelt sich hier um neue Operatoren (auf Vektoren), nämlich die Operatoren die gerade an dieser Stelle definiert werden. Dahingegen sind das $+$ bzw. das $\cdot$ das innerhalb des jeweiligen letzten Vektors steht die bereits bekannten Operatoren (auf reellen Zahlen). Es werden hier also zwei neue Operatoren (nämlich die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation), die auf Grund der Ähnlichkeit mit demselben Symbol bezeichnet werden, mit Hilfe zweier bekannter Operatoren (nämlich der normalen Addition und Multiplikation zweier reeller Zahlen (die in Block 1 betrachtet wurden)) eingeführt.

Die Länge eines Vektor wird Betrag des Vektors genannt und mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet.

Definition: Betrag

Sei a ein n-dimensionaler Vektor. Dann gibt der Betrag des Vektors dessen Länge an:

\begin{eqnarray*} |a|=\left|\left( \begin{array}{cccc} a_1\\a_2\\ \vdots\\a_n \end{array} \right) \right|= \sqrt{a_1^2+a_2^2+ ... + a_n^2} \end{eqnarray*}

Zwei weitere wichtige Operatoren, die auf zwei Vektoren definiert werden können, sind das Skalarprodukt und das Vektorprodukt. Bei dem Skalarprodukt handelt es sich um einen Operator der zwei Vektoren der gleichen Dimension miteinander verknüpft. Mit Hilfe des Skalarproduktes, welches als Ergebnis eine reelle Zahl liefert, können später die Winkel zwischen Vektoren leicht bestimmt werden.

Definition: Skalarprodukt

Seien a und b zwei n-dimensionale Vektoren, dann ist das Skalarprodukt definiert als:

\begin{eqnarray*} a\cdot b=\left( \begin{array}{cccc} a_1\\a_2\\ \vdots\\a_n \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cccc} b_1\\b_2\\ \vdots\\b_n \end{array} \right)= \sqrt{a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2+ ... + a_n \cdot b_n} \end{eqnarray*}

Der (kleinere) Winkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren kann dann mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden:

\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=\frac{a\cdot b}{|a|\cdot|b|} \end{eqnarray*}

Sie werden während Ihres Studiums noch lernen, wo diese Formel herkommt und warum sie gilt. Machen Sie sich bewusst, dass die Multiplikation im Zähler das Skalarprodukt ist, wohingegen es sich bei der Multiplikation im Nenner um die "normale" Multiplikation zweier reeller Zahlen handelt. Machen Sie sich weiter bewusst, dass das Ergebnis des Skalarprodukts eine reelle Zahl ist und dass daher die rechte Seite der Formel ebenfalls eine reelle Zahl ergibt.

Das Vektorprodukt hat im Gegensatz zum Skalarprodukt eine schöne anschauliche Bedeutung, allerdings ist es dafür nur für 3-dimensionale Vektoren definiert. Anders als beim Skalarprodukt ist das Ergebnis auch keine reelle Zahl sondern ebenfalls ein Vektor. Um die Anschauung des Vektorproduktes verstehen zu können, wird die folgende Vorüberlegung benötigt. Sind zwei verschiedene Vektoren gegeben, so können diese mit ihrem Anfang aneinander gelegt werden. Die so entstandene Figur, kann durch erneutes anlegen der Vektoren zu einem Parallelogramm ergänzt werden (in der Skizze wird dies deutlich):

Das Vektorprodukt des beiden Vektoren a und b liefert nun einen zu den beiden Vektoren senkrechten Vektor dessen Länge genau dem Flächeninhalt dieses Parallelogramms entspricht.

(Für Experten: Es gibt genau zwei Vektoren (die beide genau gegenseitig orientiert sind), die diese Eigenschaften erfüllen. Es wird aus diesen beiden Vektoren derjenige ausgewählt, der mit den andern beiden ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel) bildet.

Bilder aus Wikipedia )

Definition: Vektorprodukt

Seien a und b zwei 3-dimensionale Vektoren, dann ist das Vektorprodukt (bzw. auch Kreuzprodukt genannt) definiert als:

\begin{eqnarray*} a \times b=\left( \begin{array}{ccc} a_1\\a_2\\a_3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{ccc} b_1\\b_2\\ b_3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{array} \right) \end{eqnarray*}