1. Anwendungskontext
Ein Fluss fließt mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s. Ein Schwimmer schwimmt senkrecht zum Fluss mit 1,5 m/s über den 80 m breiten Fluss.
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Wie groß ist seine Gesamtgeschwindigkeit im Vergleich zu einer Person, die am Ufer steht?
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Wie lange braucht der Schwimmer für die Überquerung des Flusses?
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Wie weit ist sein Endpunkt von seinem Ausgangspunkt entfernt?
2. Lernziele
Am Ende dieses Lernmoduls können Lernende…
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… anschaulich an einem Beispiel erklären was ein Vektor ist.
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… die Addition zweier Vektoren durchführen.
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… die Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor durchführen.
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… die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation anschaulich an einem Beispiel erläutern.
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… das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen.
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… das Vektorprodukt zweier 3-dimensionaler Vektoren berechnen.
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… das Ergebnis des Vektorprodukts anschaulich an Hand eines Beispiels erläutern.
4. Tipps & Tricks
Das negative eines Vektors, ist genau der Vektor, der dieselbe Länge hat aber genau die gegengesetzte Orientierung besitzt.
\begin{eqnarray*} -x=-\left( \begin{array}{cccc} x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cccc} -x_1\\-x_2\\ \vdots\\-x_n \end{array} \right) \end{eqnarray*}
Denken Sie daran, dass ein Vektor beliebige im Raum verschoben werden kann ohne seinen Wert zu ändern.
5. Wissenskontrolle
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6. Zurück zum Anfang
Ein Fluss fließt mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s. Ein Schwimmer schwimmt senkrecht zum Fluss mit 1,5 m/s über den 80 m breiten Fluss.
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Wie groß ist seine Gesamtgeschwindigkeit im Vergleich zu einer Person, die am Ufer steht?
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Wie lange braucht der Schwimmer für die Überquerung des Flusses?
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Wie weit ist sein Endpunkt von seinem Ausgangspunkt entfernt?
Gesamtgeschwindigkeit: \begin{eqnarray*} |v_{Gesamt}|=\left|\left( \begin{array}{cc} 2\\1,5 \end{array} \right)\right|= \sqrt{2^2+(1,5)^2}=\sqrt{6,25}=2,5 \end{eqnarray*} Die Gesamtgeschwindigkeit beträgt 2,5 m/s.
Dauer:
Da nur die vertikale Kraft zum Überqueren des Flusses führt, braucht der Schwimmer $\frac{80 m}{1,5 m/s}\approx 53,3$ Sekunden.
Entfernung:
Zunächst wird mit Hilfe der Dauer der horizontale Abdrift berechnet. Da der Schwimmer 53,3 Sekunden braucht, wird er in dieser Zeit um $53,3 s \cdot 2 m/s =106,6$ Meter abgetrieben. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras lässt sich nun die Entfernung berechnen: \begin{eqnarray*} Entfernung= \sqrt{106,6^2+80^2}\approx 133,28 \end{eqnarray*}
Der Schwimmer ist also 133,28 Meter von seinem Ausgangspunkt entfernt.
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