Mathematik für PharmazeutInnen .
eine Einführung

Prof. Dr. Uli Schell
FH Kaiserslautern

1.10.2013

.
Version 5.0
© Prof. Dr. Uli Schell .
Zuletzt geändert am 16. Dezember 2013

Inhaltsverzeichnis

1 Reelle Matrizen
 1.1 Einstieg: Lineare Gleichungssysteme
  1.1.1 gängige Methoden
  1.1.2 Einige Beispiele zum Einstieg
  1.1.3 Lösen von Gleichungssystemen über äquivalente Umformungen
  1.1.4 Übungen
  1.1.5 Definition einer reellen Matrix
  1.1.6 Transponierte einer Matrix
  1.1.7 Gleichheit von Matrizen
 1.2 Spezielle quadratische Matrizen
  1.2.1 Diagonalmatrix
  1.2.2 Dreiecksmatrix
  1.2.3 Symmetrische Matrix
  1.2.4 Schiefsymmetrische Matrix
 1.3 Rechenoperationen mit Matrizen
  1.3.1 Addition
  1.3.2 Multiplikation mit einem Skalar
  1.3.3 Multiplikation von Matrizen
  1.3.4 Übungen
 1.4 Gauß’scher Algorithmus
  1.4.1 Darstellung in Matrixform
  1.4.2 Lösungsschritte des Gauß’schen Algorithmus
  1.4.3 Gauß-Jordan-Verfahren
2 Determinanten
 2.1 Einstieg
  2.1.1 zweireihige Determinanten
  2.1.2 allgemeine Rechenregeln für Determinanten
 2.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung
  2.2.1 Dreireihige Determinanten
  2.2.2 Laplace’scher Entwicklungssatz
  2.2.3 Determinanten höherer Ordnung
  2.2.4 Lösbarkeit von Gleichungssystemen
  2.2.5 Reguläre Matrix
  2.2.6 Inverse Matrix
  2.2.7 Übungen
  2.2.8 Orthogonale Matrix
  2.2.9 Rang einer Matrix
  2.2.10 Anwendungen auf Lineare Gleichungssysteme
  2.2.11 Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems
  2.2.12 Übungen
  2.2.13 Lösung linearer Gleichungssysteme mit der Cramer’schen Regel
  2.2.14 Auswirkungen von Rundungsfehlern
3 Anwendungen
 3.1 Anwendungen in der Ökologie, Eigenwerte und Eigenvektoren
  3.1.1 Markov-Ketten und Übergangsmatrizen
  3.1.2 Leslie-Diagramme und Leslie-Matrizen
  3.1.3 Eigenwerte und Eigenvektoren
 3.2 Mischungen
  3.2.1 Bestimmung von Zutatenmengen
 3.3 Produktionsprozesse
  3.3.1 Matrizen zur Beschreibung von Produktionsprozessen
  3.3.2 Übungen
 3.4 lineare Un-Gleichungssysteme
  3.4.1 Lineare Optimierung

.

1 Reelle Matrizen

1.1 Einstieg: Lineare Gleichungssysteme

1.1.1 gängige Methoden

In diesem Kapitel werden die Methoden

zur Lösung von Gleichungssystemen einschließlich der Hintergründe behandelt.

1.1.2 Einige Beispiele zum Einstieg

Beispiel 1 - 1:
In der Klasse 7c sind 31 Schüler. Die Zahl der Mädchen ist um 3 kleiner als die Zahl der Jungen. Wie viele Jungen und Mädchen sind in der Klasse ?

M: Mädchen J: Jungen
M + J =31
M + 3 =J

Beispiel 1 - 2:
Drei Zahnräder eines Getriebes haben zusammen 80 Zähne. Bei 10 Umdrehungen des ersten Rades drehen sich das zweite 18 und das dritte 45 mal. Wie viel Zähne hat jedes Rad ?

A + B + C =80
A18 =B10
A45 =C10

Beispiel 1 - 3: Balken in einem Lager
Ein Balken (Länge k) wird in einem festen Lager links eingespannt und rechts von einem Seil in einem Winkel von 45 o gehalten. Eine Kraft F wirkt unter dem Winkel α auf die Mitte des Balkens.


PIC

Abbildung 1: Eingespannter Balken

Fragestellung der Technischen Mechanik ist bei diesem Beispiel die Bestimmung der Kräfte FA,FB und des Moments MA in Abhängigkeit vom Winkel α der angreifenden Kraft F (’Drehachse’ links): .


PIC

Abbildung 2: Kräfte an einem Balken

.
x - Richtung :0 FA+ 1 2 FB+0 MA = F cos α y - Richtung : FA + 1 2 FB+0 MA = F sin α DrehmomentM :0 FA+ k 2 FB+ MA =k2 F sin α .
.
3 Gleichungen, 3 Unbekannte .

Beispiel 1 - 4: Verschnittkreuz
Gegeben sind die zwei (zu bestimmenden) Mengen x1 und x2 eines Weins mit dem Säuregehalt G1 = 3, 8gl und G2 = 9gl, die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamtsäuregehalt G = 6gl.
Die Gleichungen dieses Systems lauten dann:

x1+x2=M
G1 x1+G2 x2=G M

Nun multipliziert man die erste Gleichung mit G2:
G2 x1+G2 x2=G2 M
G1 x1+G2 x2=G M

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt:.
(G2 - G1) x1+=(G2 - G) M

und damit x1 = (G2 - G) M G2 - G1


oder x1 G2 - G
Die gleichen Schritte werden nach der Multiplikation der ersten Gleichung mit G1 analog durchgeführt:

G1 x1+G1 x2=G1 M
G1 x1+G2 x2=G M

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt:.
+(G2 - G1) x2=(G - G1) M

und damit x2 = (G - G1) M G2-G1
oder x2 G - G1.
Kennt man die gesuchte Gesamtmenge nicht, kann man für das Verhältnis von x1 zu x2 angeben:
x1 x2 = G2 - G G - G1 = (9.0 - 6.0)gl (6.0 - 3.8)gl = 3.0 2.2 1.36

.

Zum besseren Behalten dieser Gleichungen werden die Werte in einem (Verschnitt-)Kreuz aufgetragen:




G1 x1 (G2 - G)
G
G2 x2 (G - G1)



.
.
Mit Zahlen: .
.



3.8 3.0
6.0
9.0 2.2



.
.
Hat man nun eine vorgegebene Menge x1 = 630l, so kann man die Menge des Weins x2 einfach bestimmen zu:
630 x2 = 3.0 2.2

und

x2 = 630 2.2 3.0 l = 462l

.
Lösung des Beispiels mit Maple:
restart; eq1 := x1+x2 = M;
eq2 := 3.8*x1+9*x2 = 6.0*M;
solve({eq1, eq2}, {x1, x2,M}) ergibt:
x1 + x2 = M
3.8 x1 + 9 x2 = 6.0 M
{M = 2.363636364*x2, x1 = 1.363636364*x2, x2 = x2}.
Also: x2 ist frei wählbar, daraus ergibt sich x1 und daraus wiederum die Gesamtmenge.

Beispiel 1 - 5 mt9001
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen x1, x2 und x3 eines Weins mit dem Alkoholgehalt A1 = 8 Vol %, A2 = 12 Vol % und A3 = 15 Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamt-Alkoholgehalt A = 12 Vol %.
(1.267 l Alkohol entspricht 1 kg; auf der linken und rechten Seite steht aber der gleiche Faktor.)
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von S1 = 3gl, S2 = 9gl und S3 = 5gl,die zusammengemischt den Ziel-Gesamtsäuregehalt G = 6gl haben sollen. .
.

.

PICT .

Beispiel 1 - 6 mt9002
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen x1, x2 und x3 eines Weins mit dem Alkoholgehalt A1 = 8 Vol %, A2 = 12 Vol % und A3 = 13, 5 Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamt-Alkoholgehalt A = 12 Vol %.
(1.267 l Alkohol entspricht 1 kg; auf der linken und rechten Seite steht aber der gleiche Faktor.)
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von S1 = 3, 8gl, S2 = 9gl und S3 = 7gl,die zusammengemischt den Ziel-Gesamtsäuregehalt G = 6gl haben sollen. .
.

.

PICT .

Die Systematik von linearen Gleichungssytemen kann diese Ergebnisse erklären.

1.1.3 Lösen von Gleichungssystemen über äquivalente Umformungen

Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystem s Ax = c bleibt bei Anwendung der folgenden Operationen unverändert erhalten (Äquivalente Umformungen eines linearen Gleichungssystems):

1.
Zwei Zeilen können miteinander vertauscht werden.
2.
Jede Gleichung kann mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert werden.
3.
Zu jeder Gleichung darf ein Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden.

.
Beispiel 1 - 7 mt9003 .

Zeilen- Opera-
summe tion
- x + y + z = 0 1
x- 3y- 2z =51+I
5x + y + 4z =313+ 5I

.

Lösungsansatz: Bringe Gleichungssystem auf Dreiecksform

.
.
.

PICT .

Gauß’scher Algorithmus : Bringe das Gleichungssystem durch geeignete äquivalente Umformungen in Dreiecksform. Die letzte Zeile enthält die Lösung für eine Variable. Diese Lösung wird in der zweitletzten Zeile zur Bestimmung der zweiten Variablen verwendet usw.
Eine gebräuchliche Darstellungsform des Gleichungssystems ist die Matrixform

1.1.4 Übungen

.

1.1.5 Definition einer reellen Matrix
Matrix : rechteckiges Schema mit
m Zeilen
n Spalten
aik:Matrixelemente
A= a11 a12 a1n a21 a22 a2n a m1am2amn
.

i wird als Zeilenindex
k wird als Spaltenindex bezeichnet.

Schreibweisen: A,A(m,n),aik, (aik)m,n

Sonderfälle:

m = n: n-reihige quadratische Matrix oder auch Matrix n-ter Ordnung .
Nullmatrix 0: Matrix, deren Elemente sämtlich verschwinden .

Spaltenmatrix: a1 a2 a n
.

Zeilenmatrix: a1a2an .

1.1.6 Transponierte einer Matrix

Vertauschen von Zeilen und Spalten ergibt die Transponierte einer Matrix : aikT = a ki .
Beispiel:
A = 1 3 4 2 0 - 8 AT = 14 0 3 2 - 8 .
.
Beispiel 1 - 8

.

B = 1 1 1 0 - 2 5 7 6 0 BT =.
.
.
.


.
.
= Nebendiagonale
= Hauptdiagonale

1.1.7 Gleichheit von Matrizen

Zwei Matrizen A,B sind gleich, wenn
aik = bik für alle i,k,
also wenn alle ihre Elemente gleich sind.

1.2 Spezielle quadratische Matrizen

1.2.1 Diagonalmatrix

aik = 0 für ik

a11 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 ann
.

Sind alle aii = 1, so nennt man diese Matrix Einheitsmatrix

100 0 1 0 001 = E .

1.2.2 Dreiecksmatrix

alle Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonalen verschwinden

Beispiel 1 - 9: Untere Dreieicksmatrix:
100 3 1 0 405
.

1.2.3 Symmetrische Matrix

aik = aki AT = A .
Beispiel:

1 4 - 2 4 5 0 - 2 0 8 .

1.2.4 Schiefsymmetrische Matrix

aik = -aki aii = 0 .
Beispiel: .
0 4 3 - 4 0 - 5 - 35 0 .

1.3 Rechenoperationen mit Matrizen

1.3.1 Addition

C = A + B cik = aik + bik
.
Beispiel 1 - 10 mt9005 .
A = 15 - 3 40 8 +B = 5 13 - 1 4 7 .

.
.
.

PICT .

.
Beispiel 1 - 11:       - - -- -T
-C -=- A +  <msup><mrow>B< /mrow><mrow ></mrow></msup >  .
Diese Operation ist nicht definiert .

1.3.2 Multiplikation mit einem Skalar

λ A = λ (aik) = (λ aik) für alle i,k.
.
Beispiel 1 - 12 mt9006 .
A = 1 - 53 4 1 0 ,λ = 4B = λ A = .

.
.
.

PICT .

kommutativ:A + B =B + A
λ A =A λ
assoziativ: A + (B + C) =(A + B) + C
λ (μ A) =(λ μ) A
distributiv: (λ + μ)A =λA + μA
λ(A + B) =λA + λB

Beispiel 1 - 13 mt9007

A = 13 2 4 ,C = 02 1 3 .
B = 3 A + CT =

.
.
.

.

PICT .

1.3.3 Multiplikation von Matrizen

A = 15 2 3 und B = 412 1 0 3

C = A B
.

Die Ergebnismatrix hat 3 Spalten und 2 Zeilen

C = c11c12c13 c21 c22c23
.

c11 = a11 b11 + a12 b21 = 1 4 + 5 1 = 9

Falk-Schema für die Multiplikation von Matrizen : .
.

A = 15 2 3 C


B = 412 1 0 3
.





a11a12c11c12c13





a21 a22c21c22c23










b11b12b13





b21b22b23





.
C = A B

cik =ai1 b1k + ai2 b2k + + ain bnk
= j=1na ij bjk
.


Beispiel 1 - 14:
A = 14 2 4 0 - 3 B = 1 10 - 2 3 5 0 14

C = A B

--C ----= --B --⋅-- A--

.







142- 71528






40- 341- 12












110






- 2 3 5






014







.


Multiplikation ist nur zulässig, wenn Spaltenanzahl A = Zeilenanzahl B .

Beispiel 1 - 15 mt9008
A = 1 - 53 4 1 0 ,B = 10 1 0 12 .
.
A B = .

.
.

.

PICT .

Rechengesetze für die Matrixmultiplkikation:

Assoziativität:A (B C) =(A B) C
Distributivität:A (B + C) =A B + A C
(A + B) C =A C + B C
(A B)T =BT AT
A E =E A = A

Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ

Man kann jedoch bei Gleichungen mit Matrizen entweder auf beiden Seiten von links oder auf beiden Seiten von rechts mit einer Matrix multiplizieren (vorausgesetzt natürlich, die Anzahl Spalten bzw. Zeilen sind dazu passend): .

(B C) =(E F)
A (B C) =A (E F)
(B C) A =(E F) A
1.3.4 Übungen

.

1.4 Gauß’scher Algorithmus

1.4.1 Darstellung in Matrixform
- x + y + z =0 umbilden in Matrix:
x - 3y- 2z =5 1. Spalte: x,2. Spalte: y
5x + y + 4z =3 3. Spalte: z,4. Spalte: Konstante

- 1 + 1 + 10
1- 3- 25
5143

.

.
Das lineare Gleichungssystem kann geschrieben werden als A x = c .
nz Koeffizienten: aik
Absolutglieder (Konstanten): ci

A x = c

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn =c1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + + a2n xn =c2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + + a3n xn =c3

A x =cmit x = x1 x2 x3 und c = c1 c2 c3

.

Entsprechend verfolgt jetzt der Gaußsche Algorithmus das Ziel, über äquivalente Umformungen die Matrix A in ein gestaffeltes System (Dreiecksform) zu bringen durch die Schritte:

1.
Vertauschen von Zeilen
2.
Multiplikation mit einem Faktor 0
3.
Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile

.
Beispiel 1 - 16 mt9026 .
Lösen eines Gleichungssytems mit Excel : .


PIC

Abbildung 3: Gleichungssystem als Excel-Tabelle

.
.

.
.
.

PICT .

.
Beispiel 1 - 17 mt9009 .
Lösung des obigen Beispiels: .

- x + y + z =0 umbilden in Matrix:
x - 3y- 2z =5 1. Spalte: x,2. Spalte: y
5x + y + 4z =3 3. Spalte: z,4. Spalte: Konstante

.

.
.
.

PICT .

1.4.2 Lösungsschritte des Gauß’schen Algorithmus

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems A x = c erfolgt durch Umformung in zwei, ggf. drei Schritten:
I. Vorwärtselimination mit
Ia. eventueller Pivotisierung (d.h. Vertauschen von Zeilen, bis die Diagonalelemente 0)
II. Rückwärtselimination

I. Vorwärtselimination

1.
Eliminationsschritt: (a110)
subtrahierea21a11-fache der 1.Zeile von 2.Zeile
a31a11-fache der 1.Zeile von 3.Zeile

Durch den ersten Eliminationsschritt entstehen in der 1. Spalte der Matrix Nullen, außer a11 sind alle ai1 = 0.
2.
Eliminationsschritt: (a220)
subtrahierea32a22-fache der 2.Zeile von 3.Zeile
a42a22-fache der 2.Zeile von 4.Zeile
3.
Solange wiederholen, bis die Dreiecksform vorliegt. (Die Koeffizienten der Matrix in Dreiecksform werden ab hier der Übersichtlichkeit halber mit Koeffizienten a ik bzw. c i bezeichnet.)

Ia. Pivotisierung

1.
Das Gauß-Verfahren versagt, falls das Diagonalelement oder Pivotelement (engl. für Dreh- und Angelpunkt) akk eines Eliminationsschrittes gleich Null ist, akk = 0 (Abbruch des Verfahrens bei Division durch Null).
2.
Pivotsuche: Ist ein Diagonalelement akk = 0, so vertauscht man die Pivot-Zeile k vor Ausführung des k-ten Eliminationsschrittes mit derjenigen Zeile m > k, die den betragsmäßig größten Koeffizienten für xk besitzt:
3.
Neue Pivotzeile m, neues Pivotelement amk.

II. Rückwärtselimination
Aus der Dreiecksform werden die Lösungen xi durch schrittweises Rückwärtseinsetzen gewonnen:

1.
Zuerst die unterste Zeile nach xn auflösen.
2.
Die anderen Elemente xi,i = n - 1,, 1 des Lösungsvektors x bestimmt man dann rekursiv mit der Gleichung xn = c n a nn, xi = c i a ii - k=i+1nx k a ik a ii ,i = n - 1,, 1

.
Sei A eine 4x4-Matrix, dann lautet das Gleichungssystem A x = c mit dem unbekannten Vektor x = (x-1,x2,xn)T:

a11x1+a12x2+a13x3+a14x4 =c1
a22x2+a23x3+a24x4 =c2
a33x3+a34x4 =c3
a44x4 =c4

x4 erhält man aus der letzten Zeile: x4 = c4 a44
Der Wert für x4 wird in die vorletzte Zeile eingesetzt, diese nach x3 aufgelöst: x3 = c3 - a34x4 a33 .
.
Das gleiche Schema wird auf die darüberliegenden Zeilen angewandt, bis alle Werte von x bestimmt sind.
1.4.3 Gauß-Jordan-Verfahren

Alternativ zum beschriebenen Gauß-Verfahren kann man auch die Koeffizientenmatrix noch weiter umformen, bis man eine Einheitsmatrix E erhält. Damit können die Lösungen direkt abgelesen werden.

A x = c
A-1 A x = A-1 c oder
x = A-1 c
Dies ist auch als Gauß-Jordan-Verfahren bekannt.
.
Beispiel 1 - 18 mt9025 .
Alternative Lösung des obigen Beispiels mit Gauß-Jordan: .

- x + y + z =0 umbilden in Matrix:
x - 3y- 2z =5 1. Spalte: x,2. Spalte: y
5x + y + 4z =3 3. Spalte: z,4. Spalte: Absolutglied

.
(Anm.: Man kann das Absolutglied zuerst auch auf die linke Seite der Gleichung bringen, man muß nur beim Ablesen darauf achten.) .
.
.

PICT .

.
Beispiel 1 - 19 mt9010 .
Zu lösen ist das Gleichungssystem .

- x + y- z =- 2
+ y- 2z =- 4
- z =- 15

.
.
.

PICT .

Beispiele zum Gauß’schen Verfahren
.
Beispiel 1 - 20 mt9011 .
Tragwerke

FAFBMAc
0 1 20F cos αnach II
1 1 20F sin αnach I
0 k 21k 2 F sin α

.
Pivotisieren:

.
.
.

PICT .

.
Beispiel 1 - 21 mt9012 .

1 1 -2 1-1-2 2 3 -4 x y z = 0 0 0

11- 20
1- 1- 20
23- 40

.
.
.
.

PICT .

.
Beispiel 1 - 22 mt9013 .

- x1 + 2x2 + x3 =6
x1 + x2 + x3 =- 2
2x1 - 4x2- 2x3 =- 6


.
.
.

PICT .

Ein Gleichungssystem hat

eine oder keine oder unendlich viele
Lösungen. .


Ist das Gleichungssystem (c = 0) homogen, so hat es entweder genau eine Lösung (die Triviallösung x = 0) oder unendlich viele Lösungen (darunter auch die Triviallösung).

2 Determinanten

2.1 Einstieg

2.1.1 zweireihige Determinanten

2 × 2 Gleichungssysteme A x = c können wie folgt umgeformt werden:

a11x1 + a12x2 =c1 a22
a21x1 + a22x2 =c2 (-a12)

a11a22 x1 +a12a22 x2= c1 a22 -a12a21 x1-a12a22 x2=-c2 a12
+


a11a22 x1 - a12a21 x1 = c1 a22 - c2 a12
(a11a22 - a12a21)x1 = c1 a22 - c2 a12
x1 = c1 a22 - c2 a12 a11a22 - a12a21 , analog:
x2 = c2 a11 - c1 a21 a11a22 - a12a21 Beide Nenner sind gleich.
.
Bildet man aus der Koeffizientenmatrix

A = a11a12 a21 a22 den Wert D = a11 a22 - a21 a12,
.
hat man die Koeffizientendeterminante der Matrix A bestimmt.
Da die Koeffizientenmatrix eine 2x2-Matrix ist, spricht man von einer 2-reihigen Koeffizientendeterminanten oder Koeffizientendeterminanten 2. Ordnung.

Ist der Wert der Determinanten D = 0, so hat das Gleichungssystem keine (bzw. bei einem homogenen Gleichungssystem unendlich viele) Lösung(en).
Determinanten lassen sich nur für quadratische Matrizen (d.h. die Matrix hat genau so viele Zeilen wie Spalten) angeben.

Rechenregel zur Bestimmung einer 2x2-Determinanten:  

D = det A = a11 a12 × a 21 a22 = |A| = |aik|
.

Die Determinante erhält man, indem man das Produkt der Hauptdiagonal-Elemente bildet und davon das Produkt der Nebendiagonal-Elemente subtrahiert:

det A = det a11a12 a21 a22 = a11a22-a21a12
.
Beispiel 2 - 23:

det A = 5 3 -10 -6 = -30+30 = 0.

.
Beispiel 2 - 24 mt9014 .

1.
det A = 3 5 -2 -4 =
2.
det A = 10 0 1 =
3.
det A = 5 3 -10 -6 =

.
.
.
.

PICT .

2.1.2 allgemeine Rechenregeln für Determinanten

Die hier aufgeführten Rechenregeln gelten auch für Determinanten höherer Ordnung:

1.
Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht
2.
Beim Vertauschen zweier Zeilen (bzw. Spalten) ändert sich das Vorzeichen
3.
Multlipliziert man eine Zeile (bzw Spalte) mit λ, dann multipliziert sich die Determinante
mit λ
4.
Eine Determinante besitzt den Wert 0, wenn
(a)
alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) Null sind
(b)
Zwei Zeilen (oder Spalten) gleich sind
(c)
Zwei Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional sind
(d)
Eine Zeile (oder Spalte) als Linearkombination der übrigen Zeilen (oder Spalten) darstellbar ist.
5.
Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) addiert.
6.
det(A B) = det A det B
7.
Dreiecksmatrizen

A = a11a12a13 0 a22a23 0 0 a33
.

haben als Determinante das Produkt der Hauptdiagonalen
det A = a11 a22 a33 = ia ii

Beispiel 2 - 25:

1.
Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht: .

det AT = det A

det A = 8 5-3 2 = 16+15 = 31
det AT = 8-3 5 2 = 16+15 = 31
.

2.
Beim Vertauschen zweier Zeilen (bzw. Spalten) ändert sich das Vorzeichen: .

det A = 7 3 4 -1 = -7-12 = -19

det A = 4-1 7 3 = 12+7 = 19 .

3.
Multlipliziert man eine Zeile (bzw Spalte) mit λ, dann multipliziert sich die Determinante
mit λ : .
det A = 2 52 5 -3 2 = 20+30 = 50 = 225 = 2 5 5-3 2
⨳¡
.
(Achtung! Nicht verwechseln mit der Skalarmultiplikation bei Matrizen!)
4.
Eine Determinante besitzt den Wert 0, wenn
(a)
alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) Null sind
(b)
Zwei Zeilen (oder Spalten) gleich sind
(c)
Zwei Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional sind
(d)
Eine Zeile (oder Spalte) als Linearkombination der übrigen Zeilen (oder Spalten) darstellbar ist: .
det A = 15 0 0 = 0 det B = 43 4 3 = 0 det C = 42 8 4 = 0
.
5.
Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) addiert: .

det A = -65 1 4 = -24-5 = -29

Addition des 6-fachen von Zeile II zu Zeile I:

det A = 029 1 4 = 0-29 = -29
.

6.

det(A B) = det A det B .

A = 1 4 5 -2 B = -2-3 4 1


det A det B = (-22) (10) = -220

det(AB) = 14 1 -18 -17 = -220
.
7.
Dreiecksmatrizen haben als Determinante das Produkt der Hauptdiagonalen

det A = a11 a22 a33 = ia ii : .

det A = 5-4 0-3 = 5(-3)-0(-4) = 5(-3) = -15

.

2.2 Determinanten von Matrizen höherer Ordnung

2.2.1 Dreireihige Determinanten

Beispiel 2 - 26:
Gegeben sei ein 3 × 3 Gleichungssystem A x = c ,
ausgeschrieben:

a11x1 + a12x2 + a13x3 =c1
a21x1 + a22x2 + a23x3 =c2
a31x1 + a32x2 + a33x3 =c3

Bildet man aus der Koeffizientenmatrix

A = a11a12a13 a21 a22a23 a31 a32a33

.
den Term
D =a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32-
-a13 a22 a31-a11 a23 a32-a12 a21 a33 ,

hat man die Koeffizientendeterminante der Matrix A bestimmt.
Ist der Wert der Determinanten D = 0, so hat das Gleichungssystem keine (oder unendlich viele) Lösung(en).
Schreibweisen:

D = det A = a11a12a13 a21 a22a23 a31 a32a33 = |A| = |aik|
.

Man spricht hier von dreireihigen Determinanten oder Determinanten 3. Ordnung.

Als Merkregel für die Bestimmung der dreireihigen Determinante von A kann man die Regel von Sarrus verwenden, indem man das Produkt der Hauptdiagonalen addiert und das Produkt der Nebendiagonalen subtrahiert:
( = Nebendiagonale, = Hauptdiagonale)

D = det A = a11a12a13 a21 a22a23 a31 a32a33 a11a12 a21 a22 a31 a32 =
.

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32-
-a13 a22 a31- a11 a23 a32- a12 a21 a33

.
Beispiel 2 - 27 mt9027 .
Die dreireihige Determinante von A: .

det A = 1-27 0 3 2 5 -1 4 .
.

.
.
.

PICT .

.
Beispiel 2 - 28 mt9015 .

det A = 4 2 1 10 5 0 -6-31 =
.

.
.
.

PICT .

2.2.2 Laplace’scher Entwicklungssatz

Der Laplace’scher Entwicklungssatz ermöglicht die Berechnung der Determinante von Matrizen mit mehr als 3 * 3 Elementen.
Streicht man bei einer Determinante D die i-te Zeile und k-te Spalte, so heißt die verbliebene Determinante Unterdeterminante. Sie wird durch das Symbol Dik gekennzeichnet. Die mit dem Vorzeichenfaktor (-1)i+k versehene Unterdeterminante Dik wird als algebraisches Komplement Aik bezeichnet.
Aik = (-1)i+k D ik

Man kann sich das Vorzeichen entsprechend einem Schachbrettmuster vorstellen:




+-+



-+-



+ -+





Die Determinante von A läßt sich auch über die algebraischen Komplemente Ank ermitteln:

det A = a11a12a13 a21 a22a23 a31 a32a33
.

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32-
-a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 =

=a11 (a22 a33 - a23 a32)- a12 (a21 a33 - a23 a31) + a13 (a21 a32 - a22 a31)
D11D12D13

D11 = ... ... a 22a23 a 32a33 = a22a23 a32a33 = a22a33-a23a32.

D12 = .. ... a 21 a23a 31 a33 = a21a23 a31a33 = a21 a33 - a23 a31.

D13 = .. ... a 21a22 a 31a32 = a21a21 a31a32 = a21 a32 - a22 a31.
.

Damit kann man die Determinante D in der Form
D = a11D11 - a12D12 + a13D13 bzw.
D = a11A11 + a12A12 + a13D13 = k=13a 1k A1k
schreiben.

Allgemein kann man nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz die Determinante einer 3x3-Matrix durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte berechnen:
D = k=13a ik Aik oder D = i=13a ik Aik .
Die Aik sind die algebraischen Komplemente von aik in D: Aik = (-1)i+k D ik .

.
Beispiel 2 - 29 mt9016 .
det A = 1 4 6 5 -2 3 0 1 7 .
.
.

.
.

PICT .

2.2.3 Determinanten höherer Ordnung

Für (quadratische!) nxn-Matrizen können Determinanten n-ter Ordnung entsprechend angegeben werden:

D = det A = a11a12a1n a21 a22a2n a n1an2ann

.

Die o.a. Rechenregeln für Determinanten gelten entsprechend.

Die Determinante kann man nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz einer nxn-Matrix durch Entwickeln nach einer Zeile oder Spalte berechnen: .
.
D = k=1na ik Aik oder D = i=1na ik Aik . .
.
Die Aik sind die algebraischen Komplemente von aik in D: Aik = (-1)i+k D ik

Vorgehen bei der Bestimmung einer n-reihigen Determinante:

1.
Man versucht, mit Hilfe elementarer Umformungen zunächst die Elemente einer Zeile (oder Spalte) bis auf eines (oder wenigen) auf Null zu bringen.
2.
Durch Entwicklung nach diesen Elementen erhält man eine (n-1)-reihige Unterdeterminante.
3.
Dies wird solange wiederholt, bis man z.B. 3-reihige Determinanten nach der Regel von Sarrus bestimmen kann. .

.
Beispiel 2 - 30 mt9017 .

det A = 2 2 0 0 4 1 -3 2 0-1 2 1 1-1 0 0 =.
.

.
.

PICT .

.

.
Beispiel 2 - 31 mt9018 .
det A = -1 1 0-20 0 2 1-14 1 0 0-31 1 2 0 0 3 0 -2 1 2 2 =
.

.
.
.

PICT .

.

2.2.4 Lösbarkeit von Gleichungssystemen

Bei der Lösbarkeit von Gleichungssystemen gibt es die drei Fälle:
Ein Gleichungssystem hat

eine oder keine oder unendlich viele
Lösungen. .
.
Mit Hilfe des Rangs einer Matrix (s.u.) läßt sich eine Angabe über die Lösbarkeit machen:

PICT



Abbildung 4: Rang einer Matrix

.
.

Neben dem Rang Rg einer Matrix ist es hilfreich zu wissen, was eine

Matrix ist.

2.2.5 Reguläre Matrix

Eine n-reihige, quadratische Matrix A heißt regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Anderenfalls heißt sie singulär. .
Beispiel 2 - 32:
Die Matrix .
A = 1 02-1 4 1 -212
.


ist regulär, da ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert (21) besitzt.

Die Matrix .

A = -4 2 6 -3
.

ist singulär, da ihre Determinante den Wert Null besitzt.

2.2.6 Inverse Matrix

Wie bereits gezeigt, sind Matrixprodukte nicht kommutativ. Man kann jedoch auf beiden Seiten einer Gleichung eine Multiplikation mit der gleichen Matrix durchführen (Rechts- oder Links-Multiplikation).
Hat man speziell eine Matrixgleichung mit einer einreihigen, quadratischen Matrix A AX = E (E : Einheitsmatrix), so heißt X die zu A inverse Matrix und wird durch das Symbol A-1 dargestellt.

Berechnung der inversen Matrix unter Verwendung von Unterdeterminanten
Für eine reguläre n-reihige (quadratische) Matrix A kann man mit Hilfe von Unterdeterminanten die Inverse A-1 wie folgt berechnen:

A-1 = 1 det A A11A21An1 A12 A22An2 A 1nA2nAnn .
.

⨳¡ Man beachte die Reihenfolge der Indizes !

Aki = AikT Aik ist das algebraische Komplement, also die mit dem Vorzeichenfaktor (-1)i+k versehene Unterdeterminante Dik : Aik = (-1)i+k D ik

Nachteil des Verfahrens ist der hohe Rechenaufwand bei größeren Matrizen.

Stattdessen wird eine Matrix häufig nach dem Gaußschen Algorithmus (Gauß-Jordan-Verfahren) invertiert. Hierbei bildet man aus einer Matrix A und einer n-reihigen Einheitmatrix eine erweiterte Matrix

(A|E) = a11 a12 a1n a21 a22 a2n a m1am2amn A 100 0 1 0 0 0 1 E.

Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen wird diese Matrix so umgeformt, daß auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht. Auf der rechten Seite steht dann die Inverse:

100 0 1 0 0 0 1 E b11 b12 b1n b21 b22 b2n b m1bm2bmn B=A-1 = (E|A-1).
.
Beispiel 2 - 34 mt9028

A = 1 0-1 -84 1 -21 0 . .
.

AE
=.
.
.
.

.

PICT .

2.2.7 Übungen

.

2.2.8 Orthogonale Matrix

Ensteht aus dem Produkt einer n-reihigen Matrix A und ihrer Transponierten A-1 eine Einheitsmatrix
A AT = E,
so heißt die Matrix A orthogonal.
Es gilt: .
det(A AT) = det(A) (det(AT)) det A = (det A)2 = det E = 1. .
.
Damit ist
det A = 1 oder det A = -1.
Dann gilt auch:
A A-1 = A-1 A = E .
Multipliziert man nun auf beiden Seiten von links mit der inversen Matrix A-1 , so erhält man:
A-1 (A AT) = A-1 E und weiter

A-1 (A AT) = (A-1 A) E AT = E AT = AT
A-1 E = A-1
Damit ist AT = A-1.
.
Das heißt, eine Orthogonale Matrix geht bei der Transposition in ihre inverse über. Dann gilt auch:
A AT = AT A = E.

Eigenschaften einer orthogonalen Matrix

1.
Die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix A bilden ein orthonormiertes System, stellen also zueinander orthogonale Einheitsvektoren dar (daher auch ihr Name)
2.
Die Determinante einer orthogonalen Matrix A besitzt den Wert + 1 oder - 1:
det A = ±1
Eine orthogonale Matrix ist daher stets regulär (der Umkehrschluß darf daraus nicht gezogen werden).
3.
Bei einer orthogonalen Matrix A sind die Transponierte AT und die Inverse A-1 identisch: .
AT = A-1 .

Beispiel für eine orthogonale Matrix: .
Beispiel 2 - 35 mt9020 .
A = 1 220-1 22 1 220 1 22 0 1 0 .
Mit AT = A-1 muss gelten: .
A AT = E .

.
.
.

PICT .

2.2.9 Rang einer Matrix

Zunächst wird der Begriff der Unterdeterminante auf nicht quadratische Matrizen ausgedehnt, indem man einfach eine oder mehrere Zeilen oder Spalten streicht, bis man eine quadratische pxp-Matrix erhält, von der dann die Unter-Determinante p-ter Ordnung gebildet werden kann.

Beispiel 2 - 36:

A = 21 - 4 08 3
.

hat die Unterdeterminanten

1-4 8 3 = 35, 2-4 0 3 = 6und 21 0 8 = 16 ,
.

aber auch sechs einreihige Unterdeterminanten:

3 = 3 , 8 = 8 , 0 = 0 , -4 = -4 , 1 = 1 , 2 = 2 .

Bildet man nun von einer Matrix alle möglichen Unterdeterminanten und betrachtet beginnend von der höchsten Ordnung deren Werte, so ergibt die Ordnung der ersten Determinante, die verschieden von Null ist, den Rang dieser Matrix.

Der Rang einer Matrix ist die höchste Ordnung aller von Null verschiedenen Unterdeterminanten von A.

Bestimmung des Rangs einer Matrix Amn:
Ist m n , vertauscht man einfach m und n.
Der Rang der Matrix ist höchstens n.

1.
man beginnt mit der höchsten Ordnung m
2.
man bildet die Unterdeterminanten der Ordnung m
3.
Ist eine dieser Unterdeterminanten verschieden von Null ?
Wenn ja, rg(Amn) = m Ende
4.
anderenfalls reduziert man m um 1 und geht zu Schritt 2

.
Alternativ: .
Man formt die Matrix um in Richtung Dreiecksgestalt. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen gibt den Rang der Matrix an. .
.
Der Rang einer Matrix A ändert sich bei den folgenden Umformungen nicht:

1.
Vertauschen zweier Zeilen (oder Spalten)
2.
Multiplikation oder Division einer Zeile oder Spalte mit einer beliebigen, von Null verschiedenen Zahl
3.
Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile oder Spalte zu einer Zeile bzw. Spalte.

Beispiel 2 - 37 mt9021
Rang der Matrix .
A23 = 749 7 3 0 .
.

.
.

.

PICT .

Beispiel 2 - 38 mt9022
Rang der Matrix .

A = 1 1 10 2 - 1 1 3 1 - 203

.

.
.

.

PICT .

Man kann zeigen: .
Für jede Matrix A ist die maximale Anzahl unabhängiger Zeilenvektoren gleich der Anzahl unabhängiger Spaltenvektoren. Diese maximale Anzahl heißt Rang einer Matrix rg(A).

2.2.10 Anwendungen auf Lineare Gleichungssysteme

Wie bereits gezeigt, kann das lineare Gleichungssystem geschrieben werden als A x = c mit den Koeffizienten aik und den Absolutgliedern (Konstanten): ci .
A x = c

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a1n xn =c1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a2n xn =c2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a3n xn =c3

A x =cmit x = x1 x2 x3 und c = c1 c2 c3
.
.
Das lineare Gleichungssystem heißt homogen, wenn c = ist, d.h. wenn alle Absolutglieder verschwinden: A x = 0 .
Ist mindestens ein Absolutglied von Null verschieden, so ist das Gleichungssystem inhomogen. .
Für n = m hat man ein quadratisches Gleichungssystem vor sich.
2.2.11 Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems

Das Lösungsverhalten eines linearen (m,n)-Gleichungssystems wird durch die Homogenität/Inhomogenität des Gleichungssystems entscheidend geprägt:

1.
Inhomogenes lineares Gleichungssystem A x = c
Das System besitzt entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen oder überhaupt keine Lösung.
2.
Homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0
Das System besitzt entweder genau eine Lösung, nämlich die triviale Lösung x = 0, oder unendlich viele Lösungen (darunter die triviale Lösung).

Ein gegebenes Gleichungssystem

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a1n xn =c1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a2n xn =c2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a3n xn =c3

kann man durch äquivalente Umformungen in ein gestaffeltes Gleichungssystem der Form

a11* x 1 + a12* x 2 + + a1r* x r + a1n* x n =c1*
+ a22* x 2 + + a2r* x r + a2n* x n =c2*
+ a rr* x r + arn* x n =cr*
0 =cr+1*
0 =cr+2*
0 =cm*

überführen.


PICPICPIC

Abbildung 5: eine / unendlich viele / keine Lösungen

.
In Matrixschreibweise :
A x = c wird durch äquivalente Umformungen in A*x* = c* überführt.
A (A|c) Zeilenumformungenelementare A* (A*|c*)

.

(A*|c*) = a11**a 12a1r*a 1n* 0 *a 22a2r*a 2n* 0 0 a rr*a rn* 0 0 0 0 A* c1* c2* c r* c m* c* .
.

Damit das Gleichungssystem lösbar ist, muss die erweiterte Koeffizientenmatrix (A*|c*) die spezielle Form

(A*|c*) = a11**a 12a1r*a 1n* 0 *a 22a2r*a 2n* 0 0 a rr*a rn* 0 0 0 0 0 0 0 0 A* c1* c2* 0 0 0 c*.
.
annehmen.
Sowohl die Matrizen a* als auch (A*|c*) sind von trapezförmiger Gestalt und enthalten in den letzten (m-r) Zeilen nur Nullen. Sie stimmen daher mit ihrem Rang überein:

Rg(A*) = Rg(A*|c*) = r.

Da die erweiterten Matrizen (A|c) und (A*|c*) durch äquivalente Umformungen / elementare Zeilenumformungen ineinander übergegangen sind, sind die korrespondierenden Matrizen ebenso ranggleich.

Dann gilt jedoch:

Ein lineares (m,n)-System A c = c ist nur dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatric A mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (A|c) übereinstimmt:

Rg(A) = Rg(A|c) = r    (r m; r n)

Fallunterscheidungen

1.
Fall: r = n
Das gestaffelte System Ax = c* besitzt für r =n die quadratische Form:
a11* x 1 + a12* x 2 + + a1n* x n =c1*
+ a22* x 2 + + a2n* x n =c2*
a nn* x n =cn*

.

In Matrixschreibweise :

(A*|c*) = a11**a 12a1n* 0 *a 22a2n* 0 0 a nn* A* c1* c2* c n* cn*
.
.

Nun kann man durch Rückwärtseinsetzen die Werte für x bestimmen. Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung

2.
Fall: r < n
Das gestaffelte System A*x = c* hat rechteckige Gestalt für r < n

a11* x 1 + a12* x 2 + + a1r* x r + a1n* x n =c1*
+ a22* x 2 + + a2r* x r + a2n* x n =c2*
a rr* x r + arn* x n =cr*

Damit haben wir mehr Unbekannte als Gleichungen: n > r. Davon sind n - r der Unbekannten, z.B. xr+1,xr+2,,xn frei wählbare Größen (Parameter).
Durch Rückwärtseinsetzen erhält man die unendlich vielen Lösungen des gestaffelten Systems, die dann durch die Parameter ausgedrückt werden.

Zusammenfassung: Ein Lineares Gleichungssystem ist nur lösbar, wenn Koeffzientematrix A und erweiterte Matrix (A|c) ranggleich sind:

Rg(A) = Rg(A|c) = r

Im Falle der Lösbarkeit besitzt das lineare Gleichungssystem die folgende Lösungsmenge:
Für r = n : Genau eine Lösung
Für r < n : Unendlich viele Lösungen

In einem homogenen System A x = 0 ist die Lösbarkeitsbedingung Rg(A) = Rg(A|c) stets erfüllt.


PICT
Abbildung 6: Lösbarkeit von Gleichungssystemen

.

Beispiel 2 - 39 mt9023
Das Gleichungssystem

3x1-4x2 =2
- x1+5x2 =4
5x1+2x2 =12

.
.

.

PICT .

.

.
Beispiel 2 - 40 mt9024 .
Das Gleichungssystem

4x1-x2-x3 =6
x1 +2x3 =0
- x1+2x2+2x3 =2
3x1-x2 =3
hat genau eine Lösung: .
.
.

PICT .

.

.
Beispiel 2 - 41 mt9029 .
Das Gleichungssystem

x1+x2+x3+3x4 =0
2x2 +2x4 =5
- x1-x2-2x3-2x4 =4
2x1+4x2+2x3+8x4 =5
.
ist lösbar und hat unendlich viele Lösungen: .
.
.

PICT .

2.2.12 Übungen

.

2.2.13 Lösung linearer Gleichungssysteme mit der Cramer’schen Regel

Ein lineares (n,n)-Gleichungssystem A x = c besitzt genau eine Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix A regulär ist. Dann existiert auch die zu A inverse Matrix A-1, und die Lösung läßt sich wie folgt berechnen:
Man multipliziert die Matrizengleichung A x = c von links mit A-1 :
A-1 A x = A-1 c

A-1 c = A-1 A x = (A-1 A) E x = E x = x

Damit wird der Lösungsvektor

x = A-1c = 1 det AA11A21An1 A12 A22 an2 A 1nA2nAnn c1 c2 c n

= 1 det A c1 A11 + c2 A21 + + cn An1 c1 A12 + c2 A22 + + cn An2 c 1 A1n + c2 A2n + + cn Ann ,
.

oder in komponentenweiser Darstellung:


x1 = c1A11 + c2A21 + + cnAn1 det A
x2 = c1A12 + c2A22 + + cnAn2 det A
⋮       ⋮
xn = c1A1n + c2A2n + + cnAnn det A
.

Den Zähler kann man auch schreiben als Determinante:

D1 = c1a12a13a1n c2 a22a23a2n c nan2an3ann ,
.

was sich sofort verifizieren läßt, indem man einfach diese Determinante nach den Elementen der ersten Spalte entwickelt.
Mit der Vereinbarung D = det A kann man dann vereinfacht schreiben:
x1 = D1 D ,x2 = D2 D ,x3 = D3 D bzw. xi = Di D ,
was als Cramer’sche Regel bekannt ist.

Die Cramer’sche Regel scheint zwar einfach anwendbar, ist aber in der Regel ineffizient, insbesondere bei größeren Zahlen von m und n. .
Beispiel 2 - 42 mt9030
Das Gleichungssystem

2x1+x2+3x3 =8
- x1-4x2+x3 =3
x1+2x2-4x3 =1
.
hat genau eine Lösung, da die Koeffizientendeterminante .
det A = 2 1 3 -1 -4 1 1 2 -4 = 32+1-6+12-4-4 = 310 ist. .
.

Anwendung der Cramer’schen Regel: .
.
.

PICT .

2.2.14 Auswirkungen von Rundungsfehlern

Die bisher aufgeführten Verfahren

bergen die Gefahr von Rundungsfehlern.
Beispiel 2 - 43:
Das Gleichungssystem

x1+ x2 = 2 x1 +1, 0001 x2 =2, 0001

hat (1, 1) als Lösung. Lag nun beispielsweise ein Rundungsfehler vor,

x1+ x2 =2 x1 +1, 0001 x2 =2 ,

erhält man als Lösung (2, 0), was deutlich von der ersten Lösung abweicht.
Sind die Rundungseffekte noch stärker,so erhält man

x1+x2 =2 x1 +x2 =2 ,

mit unendlich vielen Lösungen (2 - λ,λ),λ R, was nochmals deutlich von der ersten Lösung abweicht.

Wenn sehr kleine Veränderungen der Werte solch große Auswirkungen auf die Lösungen haben, spricht man von einem schlecht konditioniertem Gleichungssystem.
Bem Gleichungssystem
0, 00001 x1+x2 =1 x1 +x2 =2

tritt dies beispielsweise nicht auf, das Gleichungssystem ist gut konditioniert. Ein Runden ergibt
x2 =1 x1+x2 =2 ,

und man erhält als Lösung (1, 1). Bei Anwendung des Gauß-Verfahrens erhält man jedoch
0, 00001 x1+ x2 = 1 - 9999 x2 = - 99998

und daraus x2 = 0, 99990. Rundet man diesen Wert auf 1, so ergibt sich aus der ersten Gleichung
0, 0001 x1 + 1 = 1 x1 = 0,

also eine Lösung (0, 1) und nicht (1, 1) wie erwartet. Der Fehler ließe sich durch entsprechende Umstellung vermeiden, indem man z.B. die Variablen vertauscht:

x2+0, 00001 x1 = 1 x2 + 1 x1 =2

was zu den Gleichungen führt:

x2+0, 00001 x1 = 1 0, 9999 x1 =1

und daraus nach Rundung das Ergebnis (1, 1). Indem man die Diagonalelemente durch Umstellung möglichst groß macht (Pivotisieren), läßt sich dieser Effekt meist reduzieren.

3 Anwendungen

3.1 Anwendungen in der Ökologie, Eigenwerte und Eigenvektoren

3.1.1 Markov-Ketten und Übergangsmatrizen

Beispiel 3 - 44: Sie wohnen auf einer recht einsamen Insel. Auf dieser Insel gibt es nur einen Getränkeanbieter mit zwei Getränkesorten T und K. Der Anbieter hat festgestellt, daß pro Jahr 15 % der T-Konsumenten zu K und 4 % von K zu T wechseln. .
Das Konsumentenverhalten kann man graphisch so darstellen: .


PIC

Abbildung 7: Wechselverhalten der Getränkekonsumenten

.
Bezeichnet man den Absatz des Getränks K bzw. T in diesem Jahr mit ki und im Folgejahr mit ki+1 bzw. ti und ti+1, kann man die Gleichungen aufstellen: .
ki+1 =0.85 ki+0.04 ti ti+1 =0.15 ki+0.96 ti .
.
Geht man über zur Matrixschreibweise, ergibt sich der Getränke-(Spalten-)vektor im Folgejahr als Produkt der Übergangsmatrix M mit dem Getränke-(Spalten-)vektor des Vorjahres: .
.

#G
 i+1 = ki+1 ti+1 = 0.850.04 0.15 0.96 ki ti .
.
.

 #
Gi+1 = M

#
Gi  . .

Für einen Anfangs-Absatz von .

 #
G0 = k0 k0 = 2000 3000 .
.
Fässern erhält man im Folgejahr einen Verkauf von .

#G
  1  = k1 t1 = 0.850.04 0.15 0.96 2000 3000 = 1820 3180 .
.
Fässern. .
.
Im Folgejahr (gleiches Wechselverhalten vorausgesetzt) ergibt sich .
.
ein Verkauf von .
.

#
G2  = k2 t2 = 0.850.04 0.15 0.96 1820 3180 = 1674 3326 .
.
Fässern. .
.

Interpretiert man den jährlichen Verkauf von Getränkefässern als Beobachtung und die Wechselraten als (feste) ’Wahrscheinlichkeiten’, so können wir bei bekannten Verkaufszahlen eines Jahres auf die Verkaufszahlen im Folgejahr schließen. .
Derartige Prognosemodelle, die mit der Verkettung von Wahrscheinlichkeiten operieren, nennt man Markoff’sche Ketten : Jede Beobachtung ist nur von einer oder von einer beschränkten Anzahl vorhergehender Beobachtungen abhängig. .

3.1.2 Leslie-Diagramme und Leslie-Matrizen

In Analogie zu obigem Getränkebeispiel soll die Populationsentwicklung einer Schwalbenherde betrachtet werden. Bekannt seien die (jährliche) Existenzwahrscheinlichkeit von Küken (K) L11 = 0.75 (im Folgejahr sind nur noch drei Viertel übrig) sowie Erwachsener (E) von L22 = 0.6. Jährlich wird die Hälfte der Küken erwachsen (L21 = 0.5), und jährlich gebären die erwachsenen Schwalben 1.3-fachen Nachwuchs (L12 = 1.3). .
Im Leslie-Diagramm werden die Übergangswahrscheinlichkeiten an den Pfeilen eingetragen. Ist eine Übergangswahrscheinlichkeit Null, so kann der Pfeil weggelassen werden. .


PIC

Abbildung 8: Leslie-Diagramm

Nun seien in einem Bestand 30 Erwachsene und 60 Küken. Wie groß ist der Bestand nach einem bzw. 2 Jahren ? .
Derartige Übergangsmatrizen (sie sind analog zu oben) werden in der theoretischen Ökologie zur Beschreibung von Populationen genutzt und wurden von P. H. Leslie formuliert. Hat man Daten über n Altersklassen, dann ist die Leslie-Matrix vomn Typ nxn. .
In unserem Beispiel lautet sie: .

L = L11L12 L21 L22 = 0.751.3 0.5 0.6 . .
.

 #
Si+1 = ki+1 ei+1 = L

                                                                                              #
                                                                                              Si  .

#Si+1 = 0.751.3 0.5 0.6 ki e i = 0.751.3 0.5 0.6 60 30 = 84 48 . .

Für das Folgejahr ist die Population: .
.

 #
Si+2 = ki+2 ei+2 = LL

                                                                                                 #
                                                                                                Si  = 125.4 70.8 125 71 .
.

3.1.3 Eigenwerte und Eigenvektoren

Gegeben sei folgende Leslie-Matrix: .
.
L = 1.520.08 0 . .
.
Für einen Populationsvektor .

#S
  i  = 10 10 .
ergibt sich im Folgejahr .

 #
Si+1 = 250.8 .
.
Für einen anderen Populationsvektor .

 #
Si = 20 1 .
.
ergibt sich im Folgejahr .

.

 #
Si+1 = 321.6 = 1.620 1 .
.
Das heißt, der Populationsvektor kann aus dem ursprünglichen Vektor durch Multiplikation .
mit 1.6 erzeugt werden. Wenn das Produkt einer Matrix L mit einem Vektor

#
s das Gleiche ergibt wie die Multiplikation des Vektors

#s mit einer Zahl λ, nennen wir diesen Vektor Eigenvektor . Die Zahl λ bezeichnet man als Eigenwert . .
Wie findet man die Eigenwerte und Eigenvektoren ? .
Wir gehen von folgendem Ansatz aus: L

# s = λ

                                     #s .
Ergänzt um die Einheitsmatrix I .
L

#
s = λI

  #
  s .
L

#s -λI

 #s = 0.
(L -λ I)

#s = 0.
Diese Gleichung ist für von Null verschiedene Vektoren

#s dann erfüllt, wenn .

det L - λ I = 0

det(L-λI) = det 1.5 - λ 2 0.08 0 - λ = (1.5-λ)(-λ)-0.082 = λ2-1.5λ-0.16 = 0. .
.
Lösungen sind λ1 = 1.6 und λ2 = -0.1. .
Die Eigenvektoren erhält man nun, indem man das Gleichungssystem .
L

#s = λ

 #s jeweils für die Werte von λ1 und λ2 löst. .
Für λ1 = 1.6 ergibt sich: .

#s = 20 1 .
.
.

Für λ2 = -0.1 erhält man unendlich viele Lösungen: 0.8 s1 = s2 .
Sind nun die Populationsgrößen Eigenvektoren der Leslie-Matrizen, so kann man die Folgepopulationen einfach durch (ggf. mehrfache) Multiplikation des Eigenwerts mit dem Vektor bestimmen: .

 #
si+n = λn

 #
si  . .

3.2 Mischungen

3.2.1 Bestimmung von Zutatenmengen

Stellt man ein Gemisch her aus .
der Menge x1 von der Komponente A1, .
der Menge x2 von der Komponente A2, .
.............. .
der Menge xk von der Komponente Ak, .
spricht man von einem Mischungsverhältnis x1 : x1 : x2 : .... : xk wenn man zuvor erst alle Zahlen x1,x1,x2,....,xk mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert, sodaß sie alle ganzzahlig werden, und anschließend alle durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert. .
Beispiel 3 - 45: Eine Lösung habe die Komponenten A, B und C in den Mengen 15 ml, 30 ml und 45 ml. In ganzen Zahlen (multipliziert mit 100/ml): 15, 30 und 45. Dividiert durch den ggT 15 ergibt ein Mischungsverhältnis 1 : 2 : 3. .
.
Hat man nun verschiedene Lösungen bzw. Pulver mit verschiedenen Konzentrationen der Wirkstoffe, so stellt man zunächst die Summengleichung und danach die Bilanzgleichung je Wirkstoff auf. .
Beispiel 3 - 46: Gegeben seien drei Standardlösungen mit den Konzentrationen der Wirkstoffe A und B. Herauskommen soll eine Lösung der Menge L, bei denen die Konzentrationen vorgegeben sind: .
.






mol/lL1L2L3L .





A A1A2A3A .
B B1B2B3B .





.
.
.
Mit diesen Vorgaben erhält man drei Gleichungen: .
.
Gesamtmengengleichung: x1+x2+x3 =L .





Bilanzgleichung für A:A1 x1+A2 x2+A3 x3 =A L .
Bilanzgleichung für B:B1 x1+B2 x2+B3 x3 =B L .





.
.

Dieses Gleichungssystem kann man z.B. mit dem Gauß-Verfahren lösen. .
(Ein zuzugegebendes Lösungsmittel hat die Konzentrationen Null.) .
Beispiel 3 - 47 gs9050
Gegeben sind vier Lösungen:
Die Lösung L1 mit einem Wirkstoffgehalt A von 6gl, einem Wirkstoffgehalt B von 7gl und einem Wirkstoffgehalt C von 0, 3gl,
die Lösung L2 mit einem Wirkstoffgehalt A von 7gl, einem Wirkstoffgehalt B von 8gl und einem Wirkstoffgehalt V von 0, 5gl,
die Lösung L3 mit einem Wirkstoffgehalt A von 8gl, einem Wirkstoffgehalt B von 9gl und einem Wirkstoffgehalt C von 0, 6gl und
die Lösung Wein L4 mit einem Wirkstoffgehalt A von 8gl, einem Wirkstoffgehalt B von 10, 4gl und einem Wirkstoffgehalt C von 0, 78gl,

Welche Mengen der vier Lösungen muss man einer Mischung zugeben, damit man 700ml mit einem Wirkstoffgehalt A von 7, 5gl, Wirkstoffgehalt B von 9gl und einem Wirkstoffgehalt C von 0, 6gl erhält ? .
.

.

.

PICT .

.
.
Bei der Aufstellung solcher Ansätze ist zu beachten, daß man bei n Wirkstofffen n + 1 Lösungen (Bilanzgleichunge) benötigt. Es können hierbei Gleichungssysteme entstehen, die nicht lösbar oder unsinnig (z.B. negative Mengen) sind.

3.3 Produktionsprozesse

3.3.1 Matrizen zur Beschreibung von Produktionsprozessen

Nehmen wir an, daß in einer Fabrik n verschiedene Rohstoffe r r1,r2,...,rn eingesetzt werden. Aus diesen Rohstoffen enstehen k Zwischenprodukte e e1,e2,e3,....,en. .
Dann kann die Herstellung in Matrixdarstellung beschrieben werden als .
r = A e. .
Kennt man nun den Bedarf der einzelnen Endprodukte, so kann man über diese Gleichung den Rohstoffbedarf ermitteln. Kenn man umgekehrt den Rohstoffbestand, so kann man mittels der Inversen A-1 den Endproduktbestand bestimmen: .
e = A-1 r. .
Sind mehrere Fertigungsstrassen im Werk, so entspricht dies einfach einer Multiplikation der Produktionsmatrizen. .
.
Beispiel 3 - 48 gs0710 .
In einem Chemiebtrieb werden vier Rohstoffe r1, r2, r3 und r4 zu drei Zwischenprodukten z1, z2 und z3 verarbeitet. Aus diesen Zwischenprodukten entstehen in einem weiteren Prozess die drei Endprodukte p1, p2 und p3.
Die Mengenverbräuche sind gegeben durch die Gleichungen

r1=z1 +z3
r2 =2z1+z2+z3
r3 = +z2+z3
r4 =z1+z2+2z3
und
z1=p1+2p2+p3
z2 =2p1+3p2+p3
z3 =4p1+2p2+2p3
. .
Gesucht ist der Rohstoffbedarf, wenn 100 Einheiten von p1, 80 Einheiten von p2 und 60 Einheiten von p3 hergestellt werden sollen.
.

.
.

PICT .

3.3.2 Übungen

.

3.4 lineare Un-Gleichungssysteme

3.4.1 Lineare Optimierung

Unter dem Begriff Lineare Optimierung (oder auch Linearer Programmierung) versteht man die Maximierung (Minimierung) einer linearen Funktion unter Nebenbedingungen in Ungleichheitsform.
Beispiel (s. Sydsaeter, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler) :
Ein Bäcker hat 150 kg Mehl, 22 kg Zucker und 27,5 kg Butter zur Verfügung, um zwei Arten von Kuchen zu backen. Nehmen Sie an, daß für die Produktion eines Dutzends Kuchen der Sorte A bzw. B folgende Zutaten benötigt werden: .





SorteMehlZuckerButter




A 3 1.0 1
B 6 0.5 1




.
Die Erlöse: Ein Dutzend verkaufter Kuchen A ergibt 20 , ein Dutzend verkaufter Kuchen B ergibt 30 .
Wieviele Dutzend Kuchen der Sorten A (entspricht x1) und B (entspricht x2) maximieren nun den Erlös ?
Die Zielfunktion lautet:
max z = 20x1 + 30x2
mit den Nebenbedingungen
3x 1+6.0x2 150.0
x1+0.5x2 22.0
x1+x2 27.5
.
und den Nicht-Negativitätsbedingungen x1 0 und x2 0.

Graphisch: .


PIC

Abbildung 9: Lösungsraum der Ungleichung

.

Um die Ungleichungen besser verarbeiten zu können, werden Schlupfvariablen y1 0, y2 0 und y3 0 eingeführt:

(I1)y1+3x1+6.0x2 =150.0
(II1)y2+x1+0.5x2 =22.0
(III1)y3+x1+x2 =27.5
.
Die Schlupfvariable y1 sagt z.B. aus, wieviel kg Mehl nicht verbraucht wurde.
Das Gleichungssystem hat 3 Zeilen und 5 Variablen. Entsprechend sind 2 Variablen frei wählbar.
Das Prinzip des Simplex-Verfahrens besteht darin, ausgehend von einem Eckpunkt (einer Basislösung) zu einem weiteren Eckpunkt (ebenso eine Basislösung) und damit zu immer größeren Werten von z zu gelangen, bis ein weiteres Anwachsen nicht mehr möglich ist.

Die entsprechenden Schritte in diesem Beispiel sind:

1.
Erste zulässige Basislösung:
x1 = 0, x2 = 0, y1 = 150, y2 = 22, y3 = 27.5 ergibt z = 0.
2.
Verbesserung durch zunächst Festhalten von x1 = 0 und Vergrößerung von x2 , da Zielfunktion dadurch am stärksten steigt:
Hierbei entstehen die Folgefragen:
a) Um wieviel kann x2 von 0 aus erhöht werden ?
b) Welche der Variablen y1, y2 oder y3 sollen wir auf 0 setzen ?
Mit dem Versuch y1 = 0 folgt aus (I1), daß x2 = 25.
Mit dem Versuch y2 = 0 folgt aus (II1), daß x2 = 44.
Mit dem Versuch y3 = 0 folgt aus (III1), daß x2 = 27.5. .
Damit ist der kritische Punkt in Gleichung (I), denn mit x2 > 25 wird y1 < 0. x2 hat damit als Obergrenze den Wert 25.
Wir setzen also x2 = 25 und damit y1 = 0.
3.
Neue Werte:
x1 = 0, x2 = 25, y1 = 0, y2 = 9.5, y3 = 2.5 ergibt z = 750.
4.
Umschreiben des Gleichungssystems, sodaß die Variablen, die nicht gleich Null gesetzt sind, durch die anderen Variablen ersetzt werden: .
(I2)x2 =25.0-1 2x1-1 6y1
(II2)y2 =9.5-3 4x1+ 1 12y1
(III2)y3 =2.5-1 2x1-1 6y1
.
z = 20x1 + 30x2 = 20x1 + 30 (25 -1 2x1 -1 6y1)
z = 750 + 5x1 - 5y1
5.
weitere Erhöhung von z durch Vergrößern von x1 (mit y1 wäre das kontraproduktiv; Deshalb y1 = 0):

a) Um wieviel kann x1 von 0 aus erhöht werden ?
b) Welche der Variablen x2, y2 oder y3 sollen wir auf 0 setzen ?
Mit dem Versuch x2 = 0 folgt aus (I2), daß x1 = 50.
Mit dem Versuch y2 = 0 folgt aus (II2), daß x1 = 38 3 .
Mit dem Versuch y3 = 0 folgt aus (III2), daß x1 = 5. .
Damit ist der kritische Punkt durch Gleichung (III2) gegeben, und x1 hat damit als Obergrenze den Wert 5.

6.
Neue Werte:
x1 = 5, x2 = 22.5, y1 = 0, y2 = 5.75, y3 = 0 ergibt z = 775.
7.
Umschreiben des Gleichungssystems, sodaß die Variablen, die nicht gleich Null gesetzt sind, durch die anderen Variablen ersetzt werden: .
(I3)x1 =5.0+1 3y1-2y3
(II3)x2 =22.5-1 3y1+y3
(III3)y3 =5.75-1 6y1+3 2y3
z =775-10 3 y1-10y3

8.
Der Versuch, eine weitere Erhöhung von z durch Vergrößern von y1 oder y2 von Null aus zu erreichen, führt nicht zum Ziel. Ergebnis:
x1 = 5, x2 = 22.5, z = 775.

Lösung mit Maple:

with(simplex):
cnsts := {3*x+6*y ¡= 150, x+0.5*y ¡= 22, x+y ¡= 27.5}:
obj := -x+y+2*z:
maximize(obj, cnsts 0 ¡= x, 0 ¡= y, 0 ¡= z) oder:
maximize(obj, cnsts, NONNEGATIVE)oder:
maximize(obj, cnsts)
.

Beispiel 3 - 49 lp0190
Lösen Sie mit dem Simplex-Verfahren das Optimierungsproblem:
max z = 3x1 + 4x2
3x1 + 2x2 6
x1 + 4x2 4

.

.

PICT .

Abbildungsverzeichnis

Eingespannter Balken
Kräfte an einem Balken
Gleichungssystem als Excel-Tabelle
Rang einer Matrix
eine / unendlich viele / keine Lösungen
Lösbarkeit von Gleichungssystemen
Wechselverhalten der Getränkekonsumenten
Leslie-Diagramm
Lösungsraum der Ungleichung

Literatur

[PapulaF1]   Papula: Formelsammlung,ISBN 978-3-8348-0757-1

[StoeckerF1]   Stöcker : Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren, ISBN I978-3-8171-1700-0

[PapulaL1]   Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1, ISBN 978-3-8348-0545-4

[PapulaL2]   Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2, ISBN 978-3-8348-0564-5

[PapulaU1]   Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Klausur- und Übungsaufgaben, ISBN 978-3-8348-0609-3

[TurturU1]   Turtur: Prüfungstrainer Mathematik, ISBN 978-3-8351-0023-8

[HoffmannL1]   Hoffmann, Mathematik f. Ingenieure, Band 1, ISBN: 978-3-8273-7113-3

[HofmannL2]   Hoffmann, Mathematik f. Ingenieure, Band 2, ISBN: 978-3-8273-7114-0

[WestermannL1]   Westermann: Mathematische Probleme lösen mit Maple, ISBN 978-3540-77720-5

[RiessingerL1]   Rießinger, Mathematik für Ingenieure, Springer-Verlag, ISBN 978-3540-89205-2

[HibbelerL1]   Russel C. Hibbeler, Technische Mechanik I, Pearson-Verlag, ISBN 978-8273-7101-0

[Wiskowski]   Wiskowski, Pharmakokinetik, http://www.meduniwien.ac.at/user/wolfgang.wyskovsky/homepage/h_texte/vortraege_praesentationen/TheoretischePharmakokinetik/Pharmakokinetik-Seiller.pdf

[Langguth]   Langguth, Fricker, Wunderli-Allenspach, Biopharmazie, Wiley-VCH, ISBN 3-527-30455-X

[Croft]   Croft, Mathematics for Engineers MyMathLab Global Pack, Prentice-Hall,ISBN: 978-1408263235

[Wikipedia_tVert]   http://de.wikipedia.org/wiki/Studentsche_t-Verteilung

[Wikipedia_Box]   http://de.wikipedia.org/wiki/Box-Whisker-Plot

[PapulaL3]   Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3, ISBN 978-3-8348-1227-8

[Wikipedia_nVert]   http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung

[Wikipedia_Chi-QuadratVert]   http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Statistik:_Tabelle_der_Chi-Quadrat-Verteilung

[Wikipedia_Weibull]   http://de.wikipedias.org/wiki/Weibull-Verteilung

[HeSa]   Hedderich, Sachs: Angewandte Statistik, Springer 2012, ISBN 978-3-642-24400-1