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Brückenkurs

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Erklärungen

Wichtige Begriffe

Höhe: die Strecke, die senkrecht (d. h. im rechten Winkel) auf einer Dreiecksseite steht und durch die gegenüberliegende Ecke verläuft, hier

Katheten: die Seiten im rechtwinkligen Dreieck, die an den rechten Winkel angrenzen, hier

und

Hypotenuse: die Seite im rechtwinkligen Dreieck, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, hier

Hypotenusenabschnitte: die Abschnitte der Hypotenuse, die durch den Schnittpunkt der Höhe mit der Hypotenuse entstehen, hier

und

Die Satzgruppe des Pythagoras

Im ebenen, rechtwinkligen Dreieck gelten (bezogen auf die Benennungen in der oberen Zeichnung):

Der Satz des Pythagoras

Als Satz formuliert: Die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten entspricht dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.

Der Höhensatz

$h^2 = p \cdot q$

Als Satz formuliert: Der Flächeninhalt des Quadrats über der Höhe entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seiten die Hypotenusenabschnitte sind.

Die Kathetensätze

$a^2 = c \cdot p$
$b^2 = c \cdot q$

Als Satz formuliert: Der Flächeninhalt des Quadrats über einer Kathete entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seiten die Hypotenuse und der zur Kathete gehörende Hypotenusenabschnitt sind.

$\begin{array}{r} \end{array}$
Bemerkung 1: Die bekannte Formel a^2+b^2= c^2

alleine ist nicht der Satz des Pythagoras! Durch die Formel alleine ist nämlich nicht festgelegt, welche Größen

und

bezeichnen (

und

müssen ja nicht automatisch die Katheten sein) bzw. ob es sich bei

und

überhaupt um Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks handelt. Für irgendwelche beliebigen

und

wäre es denn auch eher überraschend, wenn sie die Beziehung a^2+b^2= c^2

erfüllen würden. Warum sollten sie...

Bemerkung 2: Der Satz des Pythagoras gilt natürlich auch in den beiden Teildreiecken, die sich in der Skizze ergeben, da die Höhe und die Hypotenuse einen rechten Winkel einschließen. Hierbei liegen die Seiten

bzw.

(vormals die Katheten) gegenüber des rechten Winkels. In den Teildreiecken ist also

bzw.

die Hypotenuse.
Es gilt also:
h^2+q^2 = b^2

Bemerkung 3: Bei konkreten Berechnungen müssen diese Formeln, die ja letztendlich quadratische Gleichungen sind, teilweise umgeformt werden, z. B. um

aus dem Höhensatz berechnen zu können.

Winkel

Winkelgrößen können entweder im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben werden.

Definition: Das Bogenmaß eines Winkels $\alpha$ (aufgefasst als Mittelpunktswinkel eines Kreises) ist das Verhältnis der Länge des Kreisbogens

zum Radius

: $\alpha= \frac{b}{r}$

Winkel im Bogenmaß mit Kreisbogen und Radius

$\begin{array}{r} \end{array}$

Ein Vollkreis hat entweder $360^\circ$ oder $2 \pi$

Ist eine der beiden Maßzahlen gegeben, kann mithilfe folgender Formel die andere berechnet werden: $\frac{ \alpha^\circ} {\alpha} = \frac{180^\circ}{ \pi}$ , wobei $\alpha$ das Bogenmaß des Winkels und $\alpha^\circ$ die Größe des Winkels in Grad bezeichnet.

Alternativ kann die Umrechnung mit dem Dreisatz erfolgen.

Winkelsummen

Winkelsummensatz für Dreiecke:
Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt $180^\circ$ bzw. $\pi$

Winkelsummensatz für Vierecke:
Die Innenwinkelsumme im Viereck beträgt $360^\circ$ bzw. $2 \pi$

Flächeninhalt und Umfang von ebenen Figuren

Quadrat
Flächeninhalt: A = a^2

Umfang:

mit

: Seitenlänge

Rechteck
Flächeninhalt: A = ab

Umfang:

mit

: Seitenlängen

Parallelogramm
Flächeninhalt: $A = ah_a = ab \sin \alpha$
Umfang: U = 2a+2b

mit

: Seitenlängen, h_a

: Höhe auf die Seite

, $\alpha$ : der von den Seiten a,b

eingeschlossene Winkel

Raute / Rhombus
Flächeninhalt: $A = \frac{1}{2} ef$
Umfang: U = 4a

mit

: Seitenlänge, e,f

: Diagonalen

Drachen
Flächeninhalt: $A = \frac{1}{2} ef$
Umfang: U = 2a+2b

mit

: Seitenlängen, e,f

: Diagonalen

Trapez
Flächeninhalt: $A = \frac{1}{2}(a+c)h$
Umfang: U =a+b+c+d

mit

: Seitenlängen,

und

parallel,

: Höhe

Dreieck
Flächeninhalt: $A = \frac{1}{2}gh$
Umfang: U = a+b+c

mit

: Seitenlängen,

: Grundseite,

: Höhe

Spezialfall: Rechtwinkliges Dreieck
Flächeninhalt: $A = \frac{1}{2}ab$
Umfang: U = a+b+c

mit

: Seitenlängen, a,b

: Katheten

Kreis
Flächeninhalt: $A = \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi d^2$
Umfang: $U = 2 \pi r = \pi d$
mit

: Radius,

: Durchmesser

Volumen, Ober- und Mantelflächen von Körpern

Würfel
Volumen: V = a^3

Oberfläche: O = 6a^2

Mantelfläche: M = 4a^2

mit

: Seitenlänge

Quader
Volumen: V = abc

Oberfläche: O = 2(ab+ac+bc)

Mantelfläche: M = 2(ac+bc)

mit

: Seitenlängen

Zylinder
Volumen: $V = \pi r^2h$
Oberfläche: $O = 2 \pi r(r+h)$
Mantelfläche: $M = 2 \pi rh$
mit

: Radius,

: Höhe

Regelmäßige quadratische Pyramide
Volumen: $V = \frac{1}{3}a^2h$
Oberfläche: O = a^2+2ah_s

Mantelfläche: M = 2ah_s

mit

: Seitenlänge der Grundfläche, h_s

: Höhe einer Seitenfläche

Bemerkung: "Regelmäßig" bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Grundfläche der Pyramide ein regelmäßiges Vieleck ist und der Fußpunkt der Pyramidenhöhe im Mittelpunkt der Grundfläche liegt. D. h., die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

Kegel
Volumen: $V = \frac{1}{3} \pi r^2h$
Oberfläche: $O = \pi r(r+s)$
Mantelfläche: $M = \pi rs$
mit

: Radius,

: Höhe,

: Seitenlinie

Kugel
Volumen: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
Oberfläche: $O = 4 \pi r^2$
mit

: Radius
Merksatz:
Innen hat das Kugelei
4 Drittel pi mal r hoch 3.
Und was sie auf der Pelle hat
ist 4 mal pi mal r Quadrat.

Bemerkung: Die Mantelfläche ist die Oberfläche ohne die Boden- und (soweit vorhanden) Deckfläche.

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