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Brückenkurs » 9 Quadratische Gleichungen

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Erklärungen

Allgemeines

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung in der folgenden Form: ax^2+bx+c =0 mit a,b,c \in \mathbb{R} und a\neq 0

Verschiedene Lösungswege

Auch beim Lösen quadratischer Gleichungen sollen - wie beim Lösen linearer Gleichungen - für die Variable alle Werte gefunden werden, bei denen nach dem Einsetzen beide Seiten gleich groß sind. Die für das Auflösen linearer Gleichungen beschriebenen Schritte werden hier in ähnlicher Weise angewendet.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine quadratische Gleichung zu lösen. Grundsätzlich führen alle diese Wege zum richtigen Ergebnis. Je nach Form, in der die quadratische Gleichung vorliegt, kann aber jeweils ein anderer Weg kürzer und damit weniger fehleranfällig sein.

p-q-Formel

Eine quadratische Gleichung der Form x^2+px+q=0 mit p, q \in \mathbb{R} (Normalform) lässt sich mithilfe der p-q-Formel lösen. Wichtig ist hierbei, dass der Koeffizient von dem x^2-Term 1 ist.

p-q-Formel: x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}

Bemerkung: Achten Sie darauf, dass p und q ein Vorzeichen haben können. Lautet z. B. die Gleichung x^2-2x+5=0 , ist p=-2 und q=+5

a-b-c-Formel

Eine quadratische Gleichung der Form ax^2+bx+c = 0 mit a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0 (allgemeine Form) lässt sich mithilfe der a-b-c-Formel lösen. Alternativ kann man durch a teilen. Dann erhält man x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0, also die quadratische Gleichung in Normalform, sodass die p-q-Formel angewendet werden kann mit p=\frac{b}{a} und q= \frac{c}{a}

a-b-c-Formel: x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Satz vom Nullprodukt

Liegt eine quadratische Gleichung faktorisiert vor, d. h. in der Form (ax+b)(cx+d)=0 oder (ax+b)^2=(ax+b)(ax+b)=0, oder lässt sie sich leicht in ein solches Produkt umformen, hilft der

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt reeller Zahlen ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.

Man kann also die Terme in den Klammern separat betrachten, sodass nur noch lineare Gleichungen zu lösen sind.
Dieser Weg ist auch zu empfehlen bei Gleichungen der Form x^2+px = 0. Denn es gilt: x^2+px = x(x+p) (ausklammern).

Umformen

Bei quadratischen Gleichungen in der Form x^2+q = 0 bzw. ax^2+c=0, kann man einfach den x^2-Term auf einer Seite der Gleichung isolieren (d. h. auf dieser Seite der Gleichung darf dann nur noch x^2 stehen, alles andere muss sich auf der anderen Seite der Gleichung befinden). Anschließend kommt man durch Wurzelziehen zum Ergebnis der quadratischen Gleichung.
Dabei aufpassen: Auch wenn Wurzeln immer nichtnegativ sind, entstehen beim Wurzelziehen aus einer positiven Zahl zwei Lösungen. Z. B. hat die Gleichung x^2=49 die beiden Lösungen x_1=+7=+\sqrt{49} und x_2=-7=-\sqrt{49} . Kurz schreibt man dafür auch gerne: x_{1,2}=\pm 7=\pm\sqrt{49}

Ähnlich geht es bei einer quadratische Gleichung in Scheitelpunktform, also in der Form 0=a(x-d)^2+e bzw. - e=a(x-d)^2 : Hier kann man die Klammer mit dem Quadrat auf einer Seite der Gleichung isolieren. Dann sieht die Gleichung so aus: (x-d)^2=-\frac{e}{a} . Anschließend zieht man auf beiden Seiten die Wurzel. Das geht, wenn entweder e oder a negativ ist, weil dann -\frac{e}{a} positiv ist.

Alternativ bringt man die Gleichung durch Ausmultiplizieren bzw. Anwendung der 1. oder 2. Binomischen Formel auf eine Form, in der die a-b-c- oder die p-q-Formel angewendet werden kann.

Lösbarkeit quadratischer Gleichungen

Analog zu den linearen Gleichungen kommt man auf die Frage: Ist jede quadratische Gleichung, also jede Gleichung der Art ax^2 +bx+c=0 mit a,b,c \in \mathbb{R} und a\neq 0, im Bereich der reellen Zahlen lösbar?

Für die Antwort betrachten wir beispielhaft die folgenden drei Fälle:

x^2-4=0
Diese quadratische Gleichung ist lösbar und hat zwei Lösungen. D. h., es gibt genau zwei Zahlen, die diese Gleichung lösen. Formt man sie um, erhält man nämlich x^2=4 bzw. x_{1,2}=\pm 2


(x-1)^2=0
Diese quadratische Gleichung ist lösbar und hat eine Lösung. D. h., es gibt genau eine Zahl, die diese Gleichung löst. Formt man sie um, erhält man nämlich x-1=0 bzw. x=1


x^2+10=0
Die quadratische Gleichung ist nicht lösbar. D. h., es gibt keine Zahl, die diese Gleichung löst. Formt man sie um, erhält man nämlich x^2=-10 bzw. x_{1,2}=\pm \sqrt{-10} . Aus negativen Zahlen können aber in \mathbb{R} keine Wurzeln gezogen werden.


Zusammenfassung: Quadratische Gleichung können im Bereich der reellen Zahlen keine, eine oder zwei Lösungen haben.
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