14.2.4  Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

Vergrößert man die obere Grenze x im Integral F(x) = ∫_a^x f(x)dx um Δ x, so wächst der Flächeninhalt um Δ F = F(x+ Δ x) − F(x):

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Abbildung 75: Variation der oberen Integrationsgrenze

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Zwischen den Flächeninhalten besteht also die Beziehung
f(x) · Δ x ≤ Δ F ≤ f(x+ Δ x ) · Δ x, und nach Division durch Δ x: .
f(x) ≤ Δ F/ Δ x ≤ f(x+ Δ x ) . .
Bildet man den Grenzübergang Δ x → 0 : .
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lim_{Δ x → 0} f(x) ≤ lim_{Δ x → 0} Δ F/ Δ x ≤ lim_{Δ x → 0} f(x + Δ x), .
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so wird mit lim_{Δ x → 0} Δ F/ Δ x = F′(x) .
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und mit lim_{Δ x → 0} f(x) = lim_{Δ x → 0} f(x + Δ x) = f(x) : .
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f(x) ≤ F′(x) ≤ f(x) und damit F′(x) = f(x). .
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Dies führt zum Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung:
Jedes unbestimmte Integral F(x) = ∫_a^x f(x)dx ist eine Stammfunktion zu f(x): .
F(x) = ∫_a^x f(x)dx ⇒ F′(x) = f(x) .
Beispiel 14 - 8 in9003
Gegeben sei die Funktion f(x) = e^{(x + 1/ x)}

1. Bestimmen Sie

   f′(x)

2. Berechnen Sie

   ∫

   f′(x)  dx

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Lösung ansehen .
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