16.2.6  Inverse Matrix

Wie bereits gezeigt, sind Matrixprodukte nicht kommutativ. Man kann jedoch auf beiden Seiten einer Gleichung eine Multiplikation mit der gleichen Matrix durchführen (Rechts- oder Links-Multiplikation).
Hat man speziell eine Matrixgleichung mit einer einreihigen, quadratischen Matrix A A X = E (E : Einheitsmatrix), so heißt X die zu A inverse Matrix und wird durch das Symbol A⁻¹ dargestellt.

• Nicht alle Matrizen sind invertierbar. .
  Beispiel 16 - 33 mt9019 .
  Die Matrix .
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  Die Matrix A müßte erfüllen: A· A⁻¹ = E

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  Lösung ansehen .
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• Eine quadratische Matrix hat (wenn überhaupt) genau eine Inverse.
• Besitzt eine Matrix A eine inverse MAtrix A⁻¹ , so heißt A invertierbar. Die (ebenso n-rehige) Matrix A⁻¹ wird auch Umkehrmatrix, Kehrmatrix oder Inverse von A bezeichnet.
• Es gilt: A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = E, d.h. A und A⁻¹ sind kommutativ.

Berechnung der inversen Matrix unter Verwendung von Unterdeterminanten
Für eine reguläre n-reihige (quadratische) Matrix A kann man mit Hilfe von Unterdeterminanten die Inverse A⁻¹ wie folgt berechnen:
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Man beachte die Reihenfolge der Indizes !

A_ki = A_ik^T A_ik ist das algebraische Komplement, also die mit dem Vorzeichenfaktor (−1)^i+k versehene Unterdeterminante D_ik : A_ik = (−1)^i+k · D_ik


Nachteil des Verfahrens ist der hohe Rechenaufwand bei größeren Matrizen.

Stattdessen wird eine Matrix häufig nach dem Gaußschen Algorithmus (Gauß-Jordan-Verfahren) invertiert. Hierbei bildet man aus einer Matrix A und einer n-reihigen Einheitmatrix eine erweiterte Matrix
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Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen wird diese Matrix so umgeformt, daß auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht. Auf der rechten Seite steht dann die Inverse:
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Beispiel 16 - 34 mt9028
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Lösung ansehen .
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