18.2.4  Varianz σ ²

Die Spannweite (auch Range oder Spannbreite genannt) ist die Differenz des größten minus des kleinsten Werts.
Zur Bestimmung der Differenz des größten und kleinsten Werts benötigt man zwei Zahlen.
Die Varianz σ ² ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen Z = (X−µ)², durch die die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert µ beschrieben wird:
σ ² = Var(X) = E[(X−µ)²] = ∑_i (x_i − µ)² · f(x_i) (Anm.: Diese Formel kann man noch umformen: Aus σ ² wird: .
σ ² = E[(X−µ)²] = E(X²− 2X · µ+µ²) = E(X²) − 2µ · E(X)_µ+µ² · E(1)₁) =
= E(x²) − 2 µ² + µ² = E(x²) − µ² .
Damit ist σ ² = E(x²) − µ² .
Für n Daten wird damit σ ² = 1/n−1 · [∑_i=1ⁿ (x_i² − n · µ)²] .
Man benötigt also für n−1 Differenzen n Werte. Dies erklärt den Vorfaktor 1/n−1.