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4 Computer Algebra Systems

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4.2 Beispiel Maxima

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4.2.1 Erster Einstieg

SageMath (kurz Sage) ist ein freies Online-Computeralgebrasystem. Es vereinigt in sich mehrere andere freie Computeralgebrasysteme, wie Maxima, Singular oder R. Sagemath wurde von William Stein entwickelt. Wir verwenden hier die Online-Version SageCell.

SageCell stellt ein leeres Eingabefeld mit Zeilennummern und einer Schaltfläche Auswerten bereit. Gibt man etwas Auswertbares ein, zum Beispiel 2+5 und schließt mit SHIFT + ENTER ab oder klickt auf Auswerten, so wird das Ergebnis unterhalb des Eingabefeldes angezeigt. Mehrere Eingaben in einer Zeile müssen mit jeweils einem Semikolon getrennt werden. Die Eingaben können nachträglich verändert werden. Durch erneutes Drücken der Tasten SHIFT + ENTER oder klicken auf Auswerten wird das Ergebnis neu berechnet.

Über das Symbol innerhalb des Eingabefeldes kann das Eingabefeld vergrößert bzw. wieder auf die ursprüngliche Größe zurückgesetzt werden. Dir Schaltfläche Share liefert einen Link mit dem codierten Inhalt des Eingabefeldes, den man abspeichern, weitergeben und später auf dem SageCell-Server wieder öffnen kann.

Zur Erleichterung Ihrer Arbeit finden Sie hier

Ein Sage-Arbeitsblatt
Eine Übersicht über die wichtigsten Sage-Befehle
Eine kompakte Sage-Befehlsübersicht
Einen Mathematik-Vorkurs zum Schulstoff mit Sage-Unterstützung
Eine Sammlung von weiteren Sage-Arbeitsblättern auf der NetMath-Website unter Ressourcen/Werkzeuge

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4.2.2 Auswertung der Eingaben, Kontextmenü

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4.2.3 Auswertung von Summenformeln und Produktformeln

Häufig werden umfangreichere Summen durch Summationszeichen ausgedrückt.
Beispiel 4 - 1: Beispiele:
Es soll für die Variable $s$ die Summe der Zahlen von 1 bis 5 bestimmt werden, wenn eine Formel
$s = \sum_{i = 1}^{5} i$ angegeben wurde. $i$ ist hierbei die ’ Laufvariable ’. Unterhalb des $Σ$ -Zeichens steht hierbei die Vereinbarung der Laufvariablen und die Untergrenze, oberhalb des $Σ$ -Zeichens steht die Obergrenze.
Von Hand ausgerechnet bedeutet dies:
$s = \sum_{i = 1}^{5} i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ . .
.

Berechnung in Sage (die Laufvariable i muss deklariert werden):

Auch für Produkte gibt es eine solche Vereinbarung:

Beispiel:

$p = \prod_{k = 1}^{4} 1 ∕ k = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24}$ .

Berechnung in Sage:

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4.2.4 Primfaktorzerlegung, GGT, KGV

Für eine ganze Zahlen, Bruchzahlen oder Polynome n ergibt ’factor(n)’ eine Primfaktorenzerlegung .

Beispiel 4 - 3: Beispiele:

Berechnung in Sage:

Für zwei Zahlen ergibt gcd(zahl1, zahl2) den größten gemeinsamen Teiler ( GGT ).
Beispiel 4 - 5:

GGT in Sage:

Für zwei Zahlen ergibt ’lcm(zahl1,zahl2);’ das kleinste gemeinsame Vielfache ( KGV ).
Beispiel 4 - 6:

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4.2.5 Lösen von Gleichungssystemen

KGV in Sage:

Auch das Lösen von Gleichungssystemen kann von Sage vorgenommen werden.
Beispiel 4 - 7: Lösen eines LGS

Lösen in Sage:

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4.2.6 Darstellung von Matrizen

Matrizen können ebenfalls mit Sage bearbeitet werden. Die Darstellung erfolgt mit dem Befehl ’matrix()’.
Beispiel 4 - 8: Darstellung einer Matrix
Z.B. wird die Matrix $m = (\begin{matrix} 7 & 8 \\ 4 & 6 \end{matrix})$ wie folgt definiert.

Matrix:

Um eine inverse Matrix zu bilden verwendet man ~:

Inverse Matrix:

Die Determinante wird mit dem Befehl det gebildet.

Determinante:

Zur Multiplikation zweier Matrizen wird, wie bei Zahlen, der Stern * genutzt:

Matrizenmultiplikation:

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4.2.7 Differenzieren und Integrieren

Differenzieren ist mit der Funktion ’diff()’ möglich.

Differenzieren:

Zur Integralbildung dient der Befehl ’integral’.

Unbestimmtes Integral:

Bestimmtes Integral:

Mit Hilfe des Befehls plot lassen sich elegant Zeichnungen von Funktionen erstellen:
Beispiel: Die Funktion

x^{2}

zwischen x = -4 ..4 und y = 0 ..10

Funktion zeichnen:

Zwei Funktionen zeichnen:

Hilfe zu einem Befehl erhalten Sie, wenn Sie dem Befehl ein ? voranstellen:

Titel: