Beispiel für eine Fourierreihe
Wie man eine unstetige periodische Funktion durch stetige Funktionen approximiert
von Ingo Dahn
Wenn Sie auf “Auswerten” clicken wird die 3-te Partialsumme der Fourierreihe
$S\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^\infty { - \frac{{2{{\left( { - 1} \right)}^i}}}{i}\sin \left( {i \cdot x} \right)} $, also
\[S\left( x \right) = 2\sin \left( x \right) - \sin \left( {2x} \right) + \frac{2}{3}\sin \left( {3x} \right) \mp \cdots \]
berechnet und ihr Verlauf in Abhängigkeit von x dargestellt. Je mehr Reihenglieder verwendet werden, desto genauer approximiert S(x) die unstetige(!) Sägezahnfunktion
\[f(x) = x - 2k\pi {\text{ f\"u r (2k - 1)}}\pi < x < \left( {2k + 1} \right)\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}\]
Aufgabe: Erhöhen Sie den Wert für n. Was fällt Ihnen auf? Achten Sie auf die Spitzen!
Frage: Warum widerspricht das Beispiel nicht dem Satz über die Stetigkeit der Grenzfunktion (s.a. (4))?