Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten, deren Reihenfolge nicht von Belang ist. Es muss aber entscheidbar sein, ob ein Element zu der Menge gehört oder nicht.
Mengen können entweder über eine Aufzählung von Elementen (siehe Mengen und ) oder über eine erklärende Eigenschaft (siehe Menge ) definiert werden. Mengen können endlich viele (siehe Menge ) oder unendlich viele (siehe Mengen und ) Elemente enthalten.

Zur Notation: Mengen werden üblicherweise mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet, besonders wird (naheliegenderweise) gerne verwendet. Hat man mehrere Mengen, die heißen sollen, kann man für die Unterscheidung einen so genannten Index (Plural: Indizes), also eine kleine, tiefgestellte Zahl, verwenden. Für die Angabe der Elemente verwendet man geschweifte Klammern, z. B.

• bedeutet: Die Menge, die die Elemente , und enthält.

• bedeutet: Die Menge aller positiven, ungeraden Zahlen

• bedeutet: Die Menge aller Brüche mit der Eigenschaft, dass Zähler und Nenner Elemente der oben definierten Menge sind. Z. B. sind und in dieser Menge enthalten.

Bemerkung 1: Um Missverständnissen vorzubeugen, sollten Zahlen in einer Menge mit Semikolons getrennt werden. Sonst könnte sowohl als auch oder bedeuten - und solche Mehrdeutigkeiten sind bei der Verständigung z. B. über Lösungswege sehr hinderlich und auch grundsätzlich in der Mathematik äußerst unbeliebt...
Bemerkung 2: Üblich ist, die Elemente der Größe nach zu sortieren. Wenn Variablen enthalten sind, werden diese alphabetisch sortiert. Dies hat keine mathematischen Hintergründe, verhindert aber, dass man den Überblick verliert.


Nun noch ein paar Begriffe, die wir später brauchen werden:
Die Schnittmenge zweier gegebener Mengen und umfasst alle Elemente, die sowohl in als auch in enthalten sind. Anders formuliert: Alle Elemente der Schnittmenge müssen in und in liegen. Mengen, deren Schnittmenge leer ist, nennt man disjunkt. Dann haben die Mengen keine gemeinsamen Elemente.
Beispiel: Nehmen wir und von oben. Nur die Elemente und sind in beiden Mengen enthalten, also besteht daraus ihre Schnittmenge. Mathematisch schreibt man das:

Die Vereinigungsmenge zweier gegebener Mengen und umfasst alle Elemente, die in oder in enthalten sind.
Beispiel: Wir schauen wieder und von oben an. Um die Vereinigungsmenge zu bestimmen, nehmen wir erst mal alle Elemente, die in enthalten sind (das sind schließlich mehr). Hinzukommt die aus der Menge . Um die und die aus brauchen wir uns nicht mehr zu kümmern, weil sie ja sowieso schon in enthalten sind. Mathematisch schreibt man das:

Eine Menge heißt Teilmenge der Menge , wenn alle Elemente von auch in enthalten sind.
Beispiel: ist eine Teilmenge von , weil , und positive, ungerade Zahlen sind. Mathematisch schreibt man hier: . Um genau zu sein, handelt es sich sogar um eine echte Teilmenge, da in nicht alle Elemente aus enthalten sind, z. B. ist die ein Element von , aber nicht von . Auch hierfür gibt es (natürlich) eine mathematische Schreibweise: . Wenn man einfach von einer Teilmenge (ohne "echt") spricht, können die Mengen also auch gleich sein. Das deutet man bei durch den Strich unter dem Bogen an, der an ein Gleichheitszeichen erinnern soll.

Einige Mengen sind in der Mathematik so wichtig, dass sie eigene Symbole (Doppelstrich in der Mengenbezeichnung) bekommen haben, z.B. die verschiedenen Zahlenbereiche:

: Menge der natürlichen Zahlen, also , , ,

: Menge der ganzen Zahlen, also , , , , , , , ,

: Menge der rationalen Zahlen, also alle Zahlen, die sich als endlicher oder periodischer Bruch darstellen lassen, mathematisch formuliert: , z.B. , , , , , , ,

: Menge der reellen Zahlen. Zusätzlich zu den rationalen Zahlen sind hier alle unendlichen, nichtperiodischen Dezimalbrüche enthalten, z.B. , , , ,

Diese Zahlenbereiche sind so gestaltet, dass sie jeweils Teilmengen voneinander sind: Die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen, die ganzen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen und die rationalen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen. Warum ist das so? Da in den reellen Zahlen alle Brüche (und noch viele Zahlen mehr) enthalten sind, sind natürlich auch die periodischen und endlichen dabei, sprich die rationalen Zahlen. Bastelt man in den rationalen Zahlen einen Bruch mit dem Nenner , also z. B. , landet man bei einer ganzen Zahl. Jede nichtnegative, ganze Zahl ist gleichzeitig eine natürliche Zahl.
Wer möchte, kann das mathematisch so formulieren:


Für den besseren Überblick werden Variablen

• aus der Menge der natürlich oder ganzen Zahlen meist oder ,
• aus der Menge der rationalen Zahlen meist oder sowie
• aus der Menge der reellen Zahlen meist , oder

genannt. Es ist natürlich nicht verpflichtend, Variablen so zu benennen - manchmal geht es auch gar nicht... Diese Namenskonventionen haben sich nur eingebürgert, weil sie die Zuordnung der Variablen zu den Zahlenbereichen erleichtern.


Zur Notation: Im Zusammenhang mit den Zahlenbereichen werden häufig weitere Symbole und Schreibweisen verwendet, u. a.

• Ein hinter dem Zahlenbereichssymbol hochgestelltes bedeutet, dass nur der positive Teil dieses Zahlenbereichs gemeint ist ( nicht eingeschlossen), z. B. meint (gesprochen: R plus) die Menge aller reellen Zahlen, die größer als sind.

• Ein hinter dem Zahlenbereichssymbol hochgestelltes bedeutet, dass nur der negative Teil dieses Zahlenbereichs gemeint ist ( nicht eingeschlossen), z. B. meint (gesprochen: R minus) die Menge aller reellen Zahlen, die kleiner als sind.

• Eine hinter dem Zahlenbereichssymbol tiefgestellte bedeutet, dass die in den Zahlenbereich eingeschlossen wird, z. B. meint (gesprochen: R null plus) die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich sind. Das ist natürlich nur dann nötig, wenn die ansonsten nicht in dem Zahlenbereich enthalten wäre.

• Möchte man einzelne Zahlen oder Intervalle aus einem Zahlenbereich ausschließen, verwendet man \ , z. B. meint (gesprochen: R ohne null) die Menge der reellen Zahlen ohne die Zahl .

• Möchte man aussagen, dass ein einzelner Wert Teil eines Zahlenbereichs ist oder sein soll, verwendet man , z. B. meint (gesprochen: ist Element der positiven rationalen Zahlen), dass eine positive rationale Zahl ist oder sein soll.

• Möchte man aussagen, dass ein einzelner Wert nicht Teil eines Zahlenbereichs ist oder sein soll, verwendet man , z. B. meint (gesprochen: ist nicht Element der natürlichen Zahlen) dass kein Element der natürlichen Zahlen ist.

• Das Symbol bezeichnet die leere Menge, also die Menge, die keine Elemente enthält.

Bemerkung: Manchmal werden auch andere (ähnliche) Symbole verwendet. Es sollte dann zu Beginn des Artikels erklärt sein, welches Symbol für welchen Zusammenhang verwendet wird.

Definition: Ein Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen, die zwischen zwei gegebenen Zahlen und mit liegen. bedeutet nur, dass der untere Rand kleiner sein muss als der obere. Anders gesagt: Ein Intervall ist eine Menge von reellen Zahlen ohne Lücken.
Man unterscheidet offene, halboffene und abgeschlossene Intervalle: Bei offenen Intervallen sind die Randwerte nicht im Intervall enthalten. Abgeschlossene Intervalle umfassen auch die Randwerte. Halboffene Intervalle beinhalten einen der beiden Randwerte.

Zur Notation: Man verwendet für die Darstellung von Intervallen eckige Klammern. Nach innen gerichtete Klammern schließen den Randwert in das Intervall ein. Nach außen gerichtete Klammern schließen den Randwert aus. Da (also "plus unendlich") und (also "minus unendlich") keine (reellen) Zahlen sind, werden hier immer nach außen gerichtete Klammern bzw. das - und -Zeichen verwendet (nicht und ) verwendet, z. B.

• Das abgeschlossene Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich und kleiner oder gleich sind.

• Das halboffene Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich und kleiner, aber nicht gleich sind.

• Das halboffene Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer, aber nicht gleich und kleiner oder gleich sind.

• Das offene Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer, aber nicht gleich und kleiner, aber nicht gleich sind.

• Das halboffene Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer und kleiner oder gleich sind. Man benötigt diese Schreibweise z.B., wenn man mithilfe eines Intervalls alle Zahlen beschreiben möchte, die kleiner oder gleich sind, da das Intervall ja auch eine untere Grenze braucht, nicht nur eine obere.

• geht nicht

Bemerkung 1: Intervalle lassen sich auch in Mengenschreibweise darstellen. Deswegen wurden gerade auch die ganzen geschweiften Klammern verwendet, z. B. beschreiben die folgenden drei Ausdrücke alle die gleiche Zahlenmenge:
Bemerkung 2: Auch bei Intervallen können das -und das -Zeichen verwendet werden, z.B. gelten und

Definition: Ein n-Tupel ist eine geordnete Liste von Zahlen.
Geordnet bedeutet, dass (anders als bei Mengen) die Reihenfolge, in der die Zahlen notiert sind, wichtig ist. bedeutet also etwas Anderes als . Deswegen darf man hier natürlich auch nicht der Größe nach sortieren, wie es für Mengen empfohlen wurde.
Statt 2-Tupel sagt man Paar und statt 3-Tupel Tripel.

Kartesisches Produkt von Mengen: Möchte man die Zahlenbereiche festlegen, aus denen die einzelnen Komponenten eines n-Tupels stammen sollen, so notiert man die entsprechenden Zahlenbereichssymbole mit einem dazwischen. Soll beispielsweise die erste Komponente eines Zahlenpaars ein Element der reellen Zahlen und die zweite Komponente ein Element der positiven reellen Zahlen sein, schreibt man

Zur Notation: Man verwendet für die Darstellung von n-Tupeln runde Klammern, z. B.

• ist ein Zahlenpaar, dessen erste Komponente und dessen zweite Komponente ist. Mit dieser Angabe könnte z. B. ein Punkt in einem 2-dimensionalen Koordinatensystem beschrieben sein.

• ist ein Zahlentripel, dessen erste Komponente , dessen zweite Komponente und dessen dritte Komponente ist.

• ist ein 5-Tupel, dessen erste Komponente , dessen zweite Komponente , dessen dritte Komponente , dessen vierte Komponente und dessen fünfte Komponente ist.

Schon mal ein kleiner Vorgriff: Zu Funktionen und Gleichungen (die u.a. in den Kapiteln 5, 6, 9 und 10 behandelt werden) gehört stets die Angabe eines Definitionsbereichs (Formelzeichen: ). Dieser gibt an, welche Zahlen grundsätzlich als Lösung infrage kommen.
Insbesondere wenn die Aufgaben in einem inhaltlichen Zusammenhang stehen, sind häufig nur Lösungen aus einem bestimmten Zahlenbereich zugelassen: Ist beispielsweise , kann es nur Lösungen aus dem Bereich der natürlichen Zahlen geben. Das ist inhaltlich z.B. dann sinnvoll, wenn eine Anzahl berechnet werden soll (Ein Ergebnis wie " Stück" dürfte selten zu begründen sein...).
Auch aus formalen Gründen kann es notwendig sein, den Definitionsbereich einzuschränken: Ist z.B. in einer Gleichung ein Bruch enthalten, muss dafür gesorgt werden, dass der Nenner nie wird.
Ist kein Definitionsbereich angegeben und sprechen keine inhaltlichen bzw. formalen Gründe dagegen, kann man davon ausgehen, dass der Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen ist, also

Der Wertebereich (Formelzeichen: ) einer Funktion ist die Menge aller Funktionswerte, also die Menge der y-Werte.

Die Menge aller Lösungen einer Gleichung oder eines Gleichungssystems heißt Lösungsmenge (Formelzeichen: ).