Das Horner-Schema ist ein elegantes Schema zur Berechnung von Funktionswerten.
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Beispiel 6 - 17
rf9014 .
Zu bestimmen ist f(2) für die Funktion
f(x) = 3x4 + 2x3 −5x2+x−1
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Vorgehen:
Ist x0 eine Nullstelle, dann stehen in der unteren Zeile die Koeffizienten des reduzierten Polynoms.
Dies soll am Beispiel eines Polynoms dritten Grades verdeutlicht werden: .
f(x)/ x−x0= a3x3+a2x2+a1x+a0/ x−x0=b2x2+b1x+b0 + r(x) .
f(x0)= a3x03+a2x02+a1x0+a0 .
| a3 | a2 | a1 | a0 | |
| x0 | b2x0 | b1x0 | b0 | |
| a3=b2 | b1=a2+b2x0 | b0=a1+b1x0 | p(x0)=a0+b0 | |
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Für die Koeffizienten gilt: .
a3=b2 .
b1= a2+b2x0 = a2+a3x0 .
b0=a1+b1x0=a1+ a2x0+a3x02 . .
Die Restfunktion r(x) ist echt gebrochen: .
r(x)= a0+a1x0+a2x02+a3x03/ x−x0= f(x0)/ x−x0 .
Im Zähler tritt genau der Funktionswert von f(x) an der Stelle x0 auf. Die Restfunktion r(x) verschwindet an der Nullstelle x0. Damit wird .
f(x)/ x−x0 = a0+a1x+a2x2+a3x3/ x−x0= b2x2+b1x+b01. reduziertes Polynom von f(x).
Beispiel 6 - 18 rf9015
Zu bestimmen ist f(1) für die Funktion
f(x) = 3x3 + 3x2 −3x−3
mit dem Horner-Schema. Daraus sind ggf. die Koeffizienten des reduzierten Polynoms zu bestimmen. .
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Beispiel 6 - 19 rf9016
Bestimmen Sie die Koeffizienten des reduzierten Polynoms für x1 = 1 mit dem Horner-Schema.
y = x3 − 2x2 − 5x + 6
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