Partialbruchzerlegung

7.1.5 Partialbruchzerlegung

Ziel der Partialbruchzerlegung ist eine Vereinfachung gebrochenratiohaler Funktionen, um sie beispielsweise besser integrieren zu können. Vorgehen:

Bestimmung reeller Nullstellen des Nenners.
Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet.
- x₁ (einfache Nullstelle) → A₁/(x−x₁).
- x₁ (zweifache Nullstelle) → A₁/(x−x₁) + A₂/(x−x₁)².
- x₁ (dreifache Nullstelle) → A₁/(x−x₁) + A₂/(x−x₁)² + A₃/(x−x₁)³.
- ⋮
- x₁ (n-fache Nullstelle) → A₁/(x−x₁) + A₂/(x−x₁)² + … A_n/(x−x₁)ⁿ.
Liegen weitere nicht-reelle Nullstellen des Nenners vor (z.B.) (x²+1), so gehört dazu ein Partialbruch mit dem Zähler Ax+B etc. .
Die echt gebrochen rationale Funktion ist die Summe der Partialbrüche.
Die Konstanten A₁, A₂, …kann man durch Koeffizientenvergleich oder durch geschickte Wahl von Nullstellen etc. bestimmen.

Beispiel 7 - 25:

y	=	x+1/( x³−5x²+8x−4)		mit x₁=1 und x_2,3=2

	=	( x+1/ ((x−1)(x−2)²	=	A/ (x−1) + B/( x−2) + C/ (x−2)²

	=	A(x−2)² + B(x−1)(x−2) + C(x−1)/ (x−1)(x−2)²
daraus	folgt
(x+1)	=	A(x−2)²	+	B(x−1)(x−2) + C(x−1)

.
.
Diese Beziehungen müssen für beliebige x erfüllt sein. 1. Koeffizientenvergleich: .
x+1 = Ax²−4Ax+4A + Bx² − 3Bx+2B +Cx−C .
x² ⇒ 0=A+B .
x¹ ⇒ 1=−4A−3B+C .
x⁰ ⇒ 1 = 4A+2B−C .
oder .
2. geschickte Wahl von x, damit man Nullstellen erhält:

x=1	⇒	2=A
x=2	⇒	3=C
x=0	⇒	1= 4A + 2B − C = 4· 2 + 2B −3
		B=−2

y	=	x+1/ ( x³−5x²+8x−4)	=	2/ (x−1) + −2/ (x−2) + 3/ (x−2)²