14.4.1  Integration durch Substitution

Versucht man, das Integral ∫x · cos(x²) dx zu lösen, gelingt dies durch die Substitution mit einer Hilfsvariablen u=x². .
u=x² ⇒ du/dx = 2 x ⇒ dx=du/2x . .
Ersetzt man nun x² und dx im Integral durch u bzw. du, so erhält man ein elementar lösbares Integral:
∫x · cos(x²) dx = ∫x · cosu · du/2x = 1/2· ∫cosu du = 1/2· sinu + C. .
Rücksubstitution ergibt:
∫x · cos(x²) dx = 1/2· sin(x²) + C. .
Generelle Vorgehensweise:

1. Aufstellung der Substitutionsgleichungen
   u = g(x), du/dx = g′(x), dx = du/g′(x)
2. Durchführung der Substitution durch Einsetzen
   ∫f(x) dx = ∫ϕ (u) du .
3. Integration
   ∫ϕ (u) du = Φ + C .
4. Rücksubstitution (s.o.)

.
Beispiel 14 - 21 in9014 .
∫(2x−3)⁶ dx .
.
Lösung ansehen .
.

.
Beispiel 14 - 22 in9015 .
Bestimmen Sie das Integral ∫e^4x+2 dx .
.
Lösung ansehen .
.

.
Beispiel 14 - 23 in9016 .
∫sinx · cosx dx .
.
Lösung ansehen .
.

.
Beispiel 14 - 24 in9017 .
∫√r² − x² dx .
.
Lösung ansehen .
.

.
Beispiel 14 - 25 in9018 .
x/√4−x²dx .
.
Lösung ansehen .
.