14.4.2  Partielle Integration

Beim Integral ∫f(x) wird f(x) in ein Produkt aus

• einer Funktion u(x) und
• der Ableitung v′(x) einer Funktion v(x)

zerlegt, d.h. ∫f(x) dx = ∫u(x) · v′(x) dx

Beispiel 14 - 26: .
∫x^↑u(x) · e^x↑v′(x) dx

Dieses Integral lässt sich wie folgt darstellen:
∫f(x) dx = ∫u(x) · v′(x) dx = u(x) · v(x) − ∫u′(x) · v(x) dx

Das Verfahren ist hilfreich, wenn die Stammfunktion von v′(x) ⇒ v(x) einfach zu bestimmen ist. Dann ist das Integral ∫u′(x) · v(x) dx elementar lösbar.

Erklärung:
∫u(x) · v′(x) dx =^? u(x) · v(x) − ∫u′(x) · v(x) dx .
Nach der Produktregel für Ableitungen ist
[u(x) · v(x)]′ = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x) ⇒ u(x) · v′(x) = [u(x) · v(x)]′ − u′(x) · v(x) .
Das ganze integriert ergibt
⇒ ∫u(x) · v′(x) dx = ∫[u(x) · v(x)]′ dx − ∫u′(x) · v(x) dx .
Aus der Beziehung zwischen Differential- und Integralrechnung
∫F′(x) dx = F(x) .
folgt
∫u(x) · v′(x) dx = u(x) · v(x) − ∫u′(x) · v(x) dx .
Analog:
∫u′(x) · v(x) dx = u(x) · v(x) − ∫u(x) · v′(x) dx

Vorgehensweise

1. Bestimmen von u(x) und v′(x)
2. Berechnen von u′(x) und v(x)
3. u(x), u′(x), v(x), v′(x) in .
   ∫u(x) · v′(x) dx = u(x) · v(x) − ∫u′(x) · v(x) dx
   einsetzen und ausrechnen.

Beispiel 14 - 27: .
∫x · e^x dx .
Schritte: .

1. u(x)	=	x
   v′(x)	=	ex

2. u′(x)	=	1
   v(x)	=	ex

3. u(x), u′(x), v(x), v′(x) in .
   ∫u(x) · v′(x) dx = u(x) · v(x) − ∫u′(x) · v(x) dx
   einsetzen und ausrechnen.
   ∫x · e^x dx = x · e^x − ∫e^x dx = x · e^x − e^x + C = e^x (x − 1) + C
   

Beispiel 14 - 28 in9020
∫x · cosx dx

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Lösung ansehen .
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Beispiel 14 - 29 in9021
∫sinx · x² dx
(Achtung: Zweimalige partielle Integration erforderlich !)

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Lösung ansehen .
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Regel zum Auffinden von u und v′ (die ALPES-Formel , aufgestellt durch meinen Studierenden Thaifa Alae): .
Sind beispielweise zwei Ausdrücke in der Prioritätsliste

1. A: arcsin(), arccos(), arctan()
2. L: ln()
3. P: Polynome
4. E: exp()
5. S: sin(), cos(), tan()

zu finden, so wird derjenige Term, der in der Liste weiter unterhalb steht, zu u und derjenige Term, der in der Liste weiter oberhalb steht, zu v′.