15.1.2  Einige Beispiele zum Einstieg

Beispiel 15 - 1:
In der Klasse 7c sind 31 Schüler. Die Zahl der Mädchen ist um 3 kleiner als die Zahl der Jungen. Wie viele Jungen und Mädchen sind in der Klasse ?

Beispiel 15 - 2:
Drei Zahnräder eines Getriebes haben zusammen 80 Zähne. Bei 10 Umdrehungen des ersten Rades drehen sich das zweite 18 und das dritte 45 mal. Wie viel Zähne hat jedes Rad ?

Beispiel 15 - 3: Balken in einem Lager
Ein Balken (Länge k) wird in einem festen Lager links eingespannt und rechts von einem Seil in einem Winkel von 45 1exo gehalten. Eine Kraft F wirkt unter dem Winkel α auf die Mitte des Balkens.

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Abbildung 84: Eingespannter Balken

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Fragestellung der Technischen Mechanik ist bei diesem Beispiel die Bestimmung der Kräfte F_A, F_B und des Moments M_A in Abhängigkeit vom Winkel α der angreifenden Kraft F (’Drehachse’ links): .

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Abbildung 85: Kräfte an einem Balken

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⇒ 3 Gleichungen, 3 Unbekannte .
Beispiel 15 - 4: Verschnittkreuz
Gegeben sind die zwei (zu bestimmenden) Mengen x₁ und x₂ eines Weins mit dem Säuregehalt G₁=3,8 g/l und G₂=9 g/l, die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamtsäuregehalt G= 6 g/l.
Die Gleichungen dieses Systems lauten dann:

Nun multipliziert man die erste Gleichung mit G₂:

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt:.

und damit

oder x₁ ∝ G₂ − G
Die gleichen Schritte werden nach der Multiplikation der ersten Gleichung mit G₁ analog durchgeführt:

Subtraktion der zweiten von der ersten Zeile ergibt:.

und damit x₂ = (G − G₁) · M/G₂−G₁
oder x₂ ∝ G − G₁.
Kennt man die gesuchte Gesamtmenge nicht, kann man für das Verhältnis von x₁ zu x₂ angeben:

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Zum besseren Behalten dieser Gleichungen werden die Werte in einem (Verschnitt-)Kreuz aufgetragen:

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Mit Zahlen: .
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Hat man nun eine vorgegebene Menge x₁=630 l, so kann man die Menge des Weins x₂ einfach bestimmen zu:

und

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Lösung des Beispiels mit Maple:
restart; eq1 := x1+x2 = M;
eq2 := 3.8*x1+9*x2 = 6.0*M;
solve({eq1, eq2}, {x1, x2,M}) ergibt:
x1 + x2 = M
3.8 x1 + 9 x2 = 6.0 M
{M = 2.363636364*x2, x1 = 1.363636364*x2, x2 = x2}.
Also: x₂ ist frei wählbar, daraus ergibt sich x₁ und daraus wiederum die Gesamtmenge.
Beispiel 15 - 5 mt9001
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen x₁, x₂ und x₃ eines Weins mit dem Alkoholgehalt A₁=8 Vol %, A₂=12 Vol % und A₃=15 Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamt-Alkoholgehalt A= 12 Vol %.
(1.267 l Alkohol entspricht 1 kg; auf der linken und rechten Seite steht aber der gleiche Faktor.)
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von S₁=3 g/l, S₂=9 g/l und S₃=5 g/l,die zusammengemischt den Ziel-Gesamtsäuregehalt G= 6 g/l haben sollen. .
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Lösung ansehen .
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Beispiel 15 - 6 mt9002
Gegeben sind die drei (zu bestimmenden) Mengen x₁, x₂ und x₃ eines Weins mit dem Alkoholgehalt A₁=8 Vol %, A₂=12 Vol % und A₃=13,5 Vol % , die zusammengemischt werden sollen zu einer (evtl. unbekannten) Gesamtmenge M und einem Gesamt-Alkoholgehalt A= 12 Vol %.
(1.267 l Alkohol entspricht 1 kg; auf der linken und rechten Seite steht aber der gleiche Faktor.)
Gleichzeitig haben die Weine Säuregehalte von S₁=3,8 g/l, S₂=9 g/l und S₃=7 g/l,die zusammengemischt den Ziel-Gesamtsäuregehalt G= 6 g/l haben sollen. .
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Lösung ansehen .
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Die Systematik von linearen Gleichungssytemen kann diese Ergebnisse erklären.