Um Gleichungen oder Ungleichungen zu lösen versucht man oft, die Ausdrücke (Terme) auf den Seiten der (Un)gleichung oder die ganze (Un)gleichung schrittweise so umzuformen, dass die gesuchte Variable isoliert auf einer Seite steht.Dabei ist darauf zu achten, dass es sich bei den einzelnen Schritten um äquivalente Umformungen handelt, d.h. dass die umgeformte (Un)gleichung die selben Lösungen hat wie die Ausgangs(un)gleichung.
Beispiele:
- Äquivalente Umformung
- Ausgangsgleichung: 16x=4x2,
- Schritt: Division beider Seiten durch 4,
- Ergebnis: 4x=x2 - dies ist eine äquivalente Umformung, denn sowohl die Ausgangsgleichung als auch das Ergebnis haben 0 und 4 als Lösung.
- Nicht äquivalente Umformung
- Ausgangsgleichung: 16x=4x2 ,
- Schritt: Division beider Seiten durch x,
- Ergebnis: 16=4x,- dies ist keine äquivalente Umformung, denn die Ausgangsgleichung hat 0 und 4 als Lösung während die Gleichung im Ergebnis nur noch 4 als Lösung hat.
Dieses Kapitel soll das Bewußtsein schärfen, solche Situationen nichtäquivalenter Umformungen besser zu erkennen und geeignet darauf zu reagieren.
Zuvor aber einige Begriffserklärungen.