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Brückenkurs » 10 Quadratische Funktionen

Brückenkurs

Lösungen

1. Aufgabe

Der Übersichtlichkeit wegen sind die Graphen von Aufgabe 1a) in zwei Koordinatensysteme aufgeteilt. Bitte achten Sie bei den Grafiken auf die unterschiedliche Skalierung der Achsen!

a)

b)

2. Aufgabe

$f_3(x) = x^2+\frac{3}{2}$
f_4(x) = (x+1)^2-3

$f_5(x) = \frac{1}{4}(x-2)^2+1$

3. Aufgabe

1)
$\begin{array}{rcl} f(x) &=& x^2-6x+16 \\ &=& x^2-6x+9+7 \\ &=& x^2-2 \cdot 3x+3^2+7 \\ &=& (x-3)^2+7 \end{array}$

Der Scheitelpunkt liegt bei $S(3\mid 7)$ . Die Parabel ist nach oben geöffnet.

2)
$\begin{array}{rcl} f(x) &=& 2x^2-4x+2 \\ &=& 2(x^2-2x+1) \\ &=& 2(x^2-2 \cdot 1x+1^2) \\ &=& 2(x-1)^2 \end{array}$

Der Scheitelpunkt liegt bei $S(1\mid 0)$ . Die Parabel ist nach oben geöffnet.

3)
$\begin{array}{rcl} f(x) &=& -13x^2-8 \\ &=& -13(x-0)^2-8 \end{array}$

Der Scheitelpunkt liegt bei $S(0 \mid -8)$ . Die Parabel ist nach unten geöffnet.

4)
$\begin{array}{rcl} f(x) &=& \frac{1}{4}x^2-6x+32 \\ \\ &=& \frac{1}{4}(x^2-24x+128) \\ \\ &=& \frac{1}{4}(x^2-24x+144-16) \\ \\ &=& \frac{1}{4}(x^2-2 \cdot 12x+12^2-16) \\ \\ &=& \frac{1}{4}((x-12)^2 -16) \\ \\ &=& \frac{1}{4}(x-12)^2-4 \end{array}$

Der Scheitelpunkt liegt bei $S(12 \mid -4)$ . Die Parabel ist nach oben geöffnet.

5)
$\begin{array}{rcl} f(x) &=& -11x^2-44x-34 \\ &=& -11 \left(x^2+4x+\frac{34}{11} \right) \\ &=& -11 \left(x^2+2 \cdot 2x +4- \frac{10}{11} \right) \\ &=& -11 \left(x^2+2 \cdot 2x +2^2- \frac{10}{11} \right) \\ &=& -11 \left((x+2)^2- \frac{10}{11} \right) \\ &=& -11(x+2)^2+10 \end{array}$

Der Scheitelpunkt liegt bei $S(-2 \mid 10)$ . Die Parabel ist nach unten geöffnet.

4. Aufgabe

1. Möglichkeit: Die Gerade und die Parabel laufen aneinander vorbei. Es gibt also keinen Schnittpunkt, z. B. in der unteren Grafik g(x)

und

.

2. Möglichkeit: Die Gerade und die Parabel berühren sich. Es gibt also einen Schnittpunkt, z. B. in der unteren Grafik g(x)

und

.

3. Möglichkeit: Die Gerade und die Parabel schneiden sich in zwei Punkten, z. B. in der unteren Grafik g(x)

und

3 Parabeln und 1 Gerade im Koordinatensystem

5. Aufgabe

Vorgehen: Man setzt die beiden Funktionsterme gleich, da die Funktionswerte beider Funktionen gleich sein müssen, damit ein Schnittpunkt vorliegt. Es ergibt sich eine quadratische Gleichung, die (nach etwas Umformen) mithilfe der p-q-Formel gelöst werden kann.

$\begin{matrix} 2x^2-4x+2 &=& \frac{1}{2}x+1 & \vert & -\frac{1}{2}x -1 \\ 2x^2-\frac{9}{2}x+1 &=& 0 & \vert & :2 \\ x^2-\frac{9}{4}x+\frac{1}{2} &=& 0 \\ x_{1,2} &=& \frac{9}{8} \pm \sqrt{\left(\frac{9}{8}\right)^2-\frac{32}{64}} \\ x_{1,2} &=& \frac{9}{8} \pm \sqrt{\frac{81}{64}-\frac{32}{64}} \\ x_{1,2} &=& \frac{9}{8} \pm \sqrt{\frac{49}{64}} \\ x_{1,2} &=& \frac{9}{8} \pm \frac{7}{8} \\ \\ x_1 &=& \frac{9}{8}+\frac{7}{8} &=& 2 \\ x_2 &=& \frac{9}{8}-\frac{7}{8} &=& \frac{1}{4} \end{matrix}$

Die Schnittpunkte von

und

liegen also bei $S_1 \left( 2 \mid 2 \right)$ und $S_2 \left( \frac{1}{4} \; \mid \; \frac{9}{8} \right)$

6. Aufgabe

Es gilt allgemein für quadratische Funktionen: f(x)=ax^2+bx+c

, wobei

und

zu bestimmen sind.

Für die drei gegebenen Punkte gilt:

$\begin{array}{lcrcrcrcr} f(0) &=& a\cdot 0^2 &+& b\cdot 0 &+& c &=& -16 \\ f(1) &=& a\cdot 1^2 &+& b\cdot 1 &+& c &=& -10 \\ f(3) &=& a\cdot 3^2 &+& b\cdot 3 &+& c &=& 14 \end{array}$

Man erhält also - etwas vereinfacht und zusammengefasst - ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen

und

:

$\begin{array}{crcrcrcr} \mbox{I} & & & & & c &=& -16 \\ \mbox{II} & a &+& b &+& c &=& -10 \\ \mbox{III} & 9a &+& 3b &+& c &=& 14 \end{array}$

Aus Zeile I folgt offensichtlich c=-16

. Setzt man dieses in die anderen Zeilen ein, wird das lineare Gleichungssystem handlicher, nämlich:

$\begin{array}{crcrcrcrcl} \mbox{II} & a &+& b &-& 16 &=& -10 &\vert& +16 \\ \mbox{III} & 9a &+& 3b &-& 16 &=& 14 &\vert& +16 \\ \\ \mbox{II} & a &+& b & & &=& 6 \\ \mbox{III} & 9a &+& 3b & & &=& 30 \end{array}$

Nun ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten entstanden, welches z. B. mithilfe des Einsetzungsverfahrens gelöst werden kann:

$\begin{array}{crcrcl} \mbox{II} & a+b &=& 6 &\vert& -b \\ \mbox{III} & 9a+3b &=& 30 \\ \\ \mbox{II} & a &=& 6-b \\ \mbox{III} & 9a+3b &=& 30 \\ \\ \mbox{II in III} & 9(6-b)+3b &=& 30 \\ & 54-9b+3b &=& 30 \\ & 54-6b &=& 30 &\vert& -54 \\ & -6b &=& -24 &\vert& \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) \\ & b &=& 4 \\ \\ \mbox{b in II} & a &=& 6-4 \\& a &=& 2 \end{array}$

Setzt man diese Werte in die allgemeine Form der quadratischen Funktion ein, erhält man f(x)=2x^2+4x-16

Wer möchte, kann zur Probe die gegebenen Punkte in die gefundene Funktionsgleichung einsetzen:

$\begin{array}{lcrcr}f(0) &=& 2\cdot 0^2+4\cdot 0-16 &=& -16 \\ f(1) &=& 2\cdot 1^2+4\cdot 1-16 &=& -10 \\ f(3) &=& 2\cdot 3^2+4\cdot 3-16 &=& 14 \end{array}$

Alles richtig!

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