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Brückenkurs » 16 Summen-, Produktzeichen und Binomialkoeffizient

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Erklärungen

Das Summenzeichen

Das Summenzeichen wird häufig (vor allem in der Statistik und der Wirtschaftsmathematik) verwendet, um eine Summe mit mehreren ähnlich gestalteten Summanden zusammengefasst aufzuschreiben. Als Formelzeichen wird der griechische Buchstabe \Sigma (ein großes Sigma) verwendet.

In einer Formel: \sum_{i=u}^o x_i (gesprochen: Summe von i gleich u bis o über x i)
Dabei ist
  • i: der Summationsindex oder einfach Index
  • u: die untere Summationsgrenze oder einfach untere Grenze, eine ganze Zahl, oft 0 oder 1
  • o: die obere Summationsgrenze oder einfach obere Grenze, eine ganze Zahl, mindestens so groß wie die untere Summationsgrenze
  • x_i: der Summand
Bemerkung: Der Summationsindex muss nicht i heißen. Üblich sind neben i auch j oder k.


Anhand des folgenden Beispiels soll gezeigt werden, wie beim Auflösen eines Summenzeichens vorgegangen wird: \sum_{i=0}^5 (2+i)x
  1. Setze den Summationsindex i gleich der unteren Summationsgrenze u: i=0
  2. Setze i=0 in den Summanden ein: (2+0)x
  3. Vergrößere i um 1: i=1
  4. Setze i=1 in den Summanden ein: (2+1)x
  5. Vergrößere i um 1: i=2
  6. Setze i=2 in den Summanden ein: (2+2)x
  7. Vergrößere i um 1: i=3
  8. Setze i=3 in den Summanden ein: (2+3)x
  9. Vergrößere i um 1: i=4
  10. Setze i=4 in den Summanden ein: (2+4)x
  11. Vergrößere i um 1: i=5
  12. Setze i=5 in den Summanden ein: (2+5)x
  13. Brich ab, wenn der Summationsindex i die obere Summationsgrenze o erreicht, hier also wenn i=5
  14. Addiere alle ermittelten Summanden: \sum_{i=0}^5 (2+i)x = (2+0)x+(2+1)x+(2+2)x+(2+3)x+(2+4)x+(2+5)x
  15. Vereinfache die Summanden: \sum_{i=0}^5 (2+i)x = 2x+3x+4x+5x+6x+7x
  16. Fasse zusammen: \sum_{i=0}^5 (2+i)x = 27x

Das Produktzeichen

Das Produktzeichen wird häufig verwendet, um ein Produkt mit mehreren Faktoren zusammengefasst aufzuschreiben. Als Formelzeichen wird der griechische Buchstabe \prod (ein großes Pi) verwendet.

In einer Formel: \prod_{i=u}^o x_i (gesprochen: Produkt von i gleich u bis o über x i)
Dabei ist
  • i: der Multiplikationsindex oder einfach Index
  • u: die untere Multiplikationsgrenze oder einfach untere Grenze, eine ganze Zahl, oft 0 oder 1
  • o: die obere Multiplikationsgrenze oder einfach obere Grenze, eine ganze Zahl, mindestens so groß wie die untere Multiplikationsgrenze
  • x_i: der Faktor

Beim Auflösen eines Produktzeichens wird genauso vorgegangen, wie beim Summenzeichen beschrieben. Einziger Unterschied: Bei Schritt 14 wird nicht addiert, sondern multipliziert.

Der Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient \binom{n}{k} (gesprochen: n über k) wird beim Binomischen Satz und in der Kombinatorik benötigt, nämlich um zu berechnen, wie viele verschiedene k-elementige Teilmengen in einer n-elementigen Menge enthalten sind.

Definition: \binom{n}{k}=\frac{n!}{k! \cdot(n-k)!} mit n,k \in \mathbb{N} und n \geq k
Dabei heißt die Funktion n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n Fakultät.


Eigenschaften: \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 und \binom{n}{1} = \binom {n}{n-1} = n und \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}


Der Binomische Satz ist Verallgemeinerung der Binomischen Formeln: (a+b)^n = a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+ \ldots + \binom{n}{n-2}a^2b^{n-2}+\binom{n}{n-1}ab^{n-1}+b^n


Ein Beispiel
\begin{array}{rcl} \binom{12}{5} &=& \frac {12!}{5! \cdot (12-5)!} \\ \\ &=& \frac{12!}{5! \cdot 7!} \\ \\ &=& \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \; \cdot \; 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ \\ &=& \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ \\ &=& 12 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 \\ \\ &=& 792 \end{array}

Hinweis: Hier wurde der Übersichtlichkeit wegen in zwei Schritten gekürzt. Im ersten Schritt wurden die Faktoren 1 bis 7 gekürzt. Im zweiten wurden die 2 und 4 (Nenner) gegen die 8 (Zähler), die 3 (Nenner) gegen die 9 (Zähler) und die 5 (Nenner) gegen die 10 (Zähler) gekürzt.


Bemerkung 1: Bei der Berechnung von Binomialkoeffizienten steht sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Produkt. Daher kann und sollte vor dem Ausrechnen gekürzt werden.
Bemerkung 2: Viele Taschenrechner können Binomialkoeffizienten berechnen. Meist ist die entsprechende Taste mit "nCr" beschriftet.
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