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Brückenkurs » 8 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

Brückenkurs

Erklärungen

Allgemeines

Grundlegende Definition einer Potenz: $a^n= \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_n$ für $a \in \mathbb{R}$ und $n \in \mathbb{N}$
a^n

ist also erst mal nur eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt mit vielen gleichen Faktoren.

heißt dabei Basis und

Exponent.

Es gilt:

für $a\neq 0$

ist nicht definiert.

$a^n \geq 0$ , wenn gerade ist

Ganz wichtig: Im Allgemeinen ist
$\begin{array}{ccrclcc} a \cdot a &=& a^2 &\neq& 2a &=& a+a \\ a^n \cdot b^n &=& (a \cdot b)^n &\neq& a \cdot b^n &=& a^1 \cdot b^n \end{array}$

Außerdem gilt immer: Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung!
Auch hier können ausschließlich Klammern eine andere Reihenfolge der Rechenoperationen festlegen.

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen hängen sehr eng zusammen, nämlich:

Zusammenhänge:
Ergebnis gesucht: Rechnen mit Potenzen
Basis gesucht: Rechnen mit Wurzeln
Exponent gesucht: Rechnen mit Logarithmen

Das Rechnen mit Potenzen gibt Antwort auf die Frage: Welches Ergebnis erhalte ich, wenn ich die Zahl

-mal mit sich selbst multipliziere?

Das Rechnen mit Wurzeln gibt Antwort auf die Frage: Welche Zahl ergibt

, wenn ich sie

-mal mit sich selbst multipliziere?
Formal geschrieben: $a^n=x \Leftrightarrow a=\sqrt[n]{x}$

Das Rechnen mit Logarithmen gibt Antwort auf die Frage: Wie oft muss ich die Zahl

mit sich selbst multiplizieren, damit das Ergebnis

ist?
Formal geschrieben: $a^n=x \Leftrightarrow n=\log_a{x}$

Potenzgesetze

Beim Rechnen mit Potenzen sind die fünf Potenzgesetze von großer Bedeutung. Sie können sowohl "von links nach rechts" als auch "von rechts nach links" gelesen werden - je nachdem, was sich für die entsprechende Aufgabe anbietet.

1. $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$

2. $a^n : a^m = \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$

3. $\left(a^n\right)^m = a^{n \cdot m}$

4. $a^n \cdot b^n = \left(a \cdot b \right)^n$

5. $a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$

Die Potenzgesetze gelten für: $a, b \in \mathbb{R} \backslash_{\{0\}}; m, n \in \mathbb{Z}$ oder $a, b \in \mathbb{R}^+; m, n \in \mathbb{Q}$ (für Erklärungen zu $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ siehe Mengen u. a.). Das heißt, dass Potenzen nicht nur für natürliche Exponenten (wie bei der Definition oben) definiert sind, sondern auch negative bzw. gebrochene Exponenten möglich sind. Allerdings gibt es dann Einschränkungen bei den Basen.
Insbesondere gelten folgende Festlegungen:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ mit $a \neq 0$

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ mit $a \in \mathbb{R}^+_0$ und $n \in \mathbb{N}\backslash_{\{0;1\}}$

Bemerkung 1: Bei $\sqrt [n]{a}$ heißt

Wurzelexponent und

Radikand.
Bemerkung 2: Solange keine Missverständnisse auftreten können, schreibt man $\sqrt{x}$ statt $\sqrt[2] {x}$ .

Rechnen mit Wurzeln

Da Wurzeln als Potenzausdrücke mit gebrochenen Exponenten geschrieben werden können, gelten auch für Wurzeln die oben aufgeführten Potenzgesetze. In vielen Veröffentlichungen findet man spezielle Wurzelgesetze. Diese formulieren aber bloß die Potenzgesetze in Wurzelschreibweise. Daher verzichten wir hier darauf, zumal es sich auch sonst lohnt, mit dieser Schreibweise vertraut zu sein. U. a. erleichtert nämlich die Potenzschreibweise von Wurzeltermen das Ableiten sehr.

Darüberhinaus ist zu beachten:

Wurzeln sind immer nichtnegativ: $\sqrt[n]{x} \geq 0$ . Da beim Quadrieren möglicherweise Minuszeichen "verloren" gehen, muss beim Wurzelziehen aus quadratischen Termen also der Betrag des Ergebnisses betrachtet werden: $\sqrt{x^2} = \vert x \vert$

Nach den Festlegungen oben darf der Radikand nicht negativ sein. Klassischerweise formuliert man: Im Bereich der reellen Zahlen dürfen aus negativen Zahlen keine Wurzeln gezogen werden! Allerdings sind Wurzeln aus negativen Zahlen dann erlaubt, wenn der Wurzelexponent ungerade ist: Ist ungerade und negativ, gilt: $\sqrt[n]{a}=-\sqrt[n]{\vert a \vert}$ . Diese Umformung bewirkt aber gerade, dass unter der Wurzel wieder etwas Nichtnegatives steht.

Aus Summen können keine Wurzeln gezogen werden! Anders formuliert: Wurzeln aus Summen lassen sich im Allgemeinen nicht vereinfachen, insbesondere ist: $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$ für fast alle und . Das können Sie prüfen, indem Sie auf beiden Seiten beliebige, von verschiedenen Zahlen einsetzen und die Ergebnisse vergleichen.

Bemerkung: Im Bereich der natürlichen Zahlen sind Wurzeln aus Quadratzahlen, wie

etc., wieder natürliche Zahlen; Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen, wie

etc., sind irrationale Zahlen, d. h. sie sind unendliche, nichtperiodische Dezimalzahlen.

Rechnen mit Logarithmen

Der Logarithmus $\log_a(x)$ ist definiert für $a \in \mathbb{R}^+\backslash_{\{1\}}$ und $x \in \mathbb{R}^+$ . Dabei heißt

Basis und

Argument des Logarithmus'. Die Basis muss nicht hingeschrieben werden, wenn die Umformung allgemein für alle Basen gilt oder wenn klar ist, um welche Basis es sich handelt.

Warum gelten diese Einschränkungen für die Basis und das Argument?

Potenzen mit negativen Basen sind nur für ganzzahlige Exponenten definiert. Das heißt: Ein Term wie $(-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}$ liefert kein Ergebnis. Genau dieses Ergebnis bräuchte der Logarithmus aber als Argument.
Ein Potenzausdruck mit der Basis wäre eine ziemlich langweilige Angelegenheit, denn für alle $n \in \mathbb{R}$ . Betrachtet man umgekehrt den Logarithmus, also die Frage, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss, damit das Ergebnis ist, gibt es darauf keine eindeutige Antwort. Da nicht eindeutige Antworten in der Mathematik (meist) nicht sinnvoll sind, schließt man als Basis aus.

Setzt man voraus, dass die Basis positiv ist, kann das Ergebnis des Potenzausdrucks nie negativ oder werden, denn für negative Exponenten gilt ja $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (siehe oben) und das ist in diesem Fall immer größer als . Da der Logarithmus genau dieses Ergebnis als Argument verwendet, kommen also nur positive Argumente infrage.

Wichtig: Der Logarithmus selbst (also das "Ergebnis") kann trotz dieser Einschränkungen durchaus negativ oder nicht ganzzahlig sein.

Logarithmengesetze

Für das Rechnen mit Logarithmen gelten die folgenden Logarithmengesetze, die sich direkt aus den Potenzgesetzen ableiten lassen:

1. $\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$

2. $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$

3. $\log_a\left(x^k\right) = k \cdot \log_a(x)$

Die Logarithmengesetze gelten analog zur Logarithmusdefinition für $a \in \mathbb{R}^+\backslash_{\{1\}}$ , $x,y \in \mathbb{R}^+$ und $k\in \mathbb{R}$

Weitere Gesetzmäßigkeiten

Für alle $a,b \in \mathbb{R}^+\backslash_{\{1\}}$ und $x \in \mathbb{R}^+$ gilt:

$\log_a(1) = 0$ , denn für alle Basen , die hier betrachtet werden.

$\log_a\left(a^x\right) = x$ , denn Potenzen und Logarithmen sind Umkehroperationen.

$a^{log_a(x)} = x$ , denn Potenzen und Logarithmen sind Umkehroperationen.

$\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$ Diese Umrechnung ist als Basistransformation bekannt und wird z. B. benutzt, wenn eine ungewöhnliche Basis für den Logarithmus ist, die mithilfe des Taschenrechners nicht berechnet werden kann oder wenn in einer Rechnung mehrere Logarithmen mit unterschiedlichen Basen auftreten, die man zusammenfassen möchte. Diese Gleichung ermöglicht es, den Logarithmusterm so umzuformen, dass eine beliebige andere Zahl (mit den oben genannten Einschränkungen) als Basis auftritt. Bitte beachten Sie, dass $\log_a(b)$ einfach eine Zahl ist.

Namenskonventionen

Einige Logarithmen, die man besonders häufig braucht, haben spezielle Namen bekommen:

Zweierlogarithmus oder logarithmus dualis: $\log_2(x) = \text{ld}(x)$

Natürlicher Logarithmus oder logarithmus naturalis: $\log_e(x) = \ln(x)$

Zehnerlogarithmus oder dekadischer Logarithmus: $\log_{10}(x) = \lg(x)$

Anwendungen: Der Zweierlogarithmus wird u. a. in der Informatik für Rechnungen im Binärsystem verwendet. Der natürliche Logarithmus hängt eng mit Exponentialfunktionen und Zinsrechnung zusammen. Der Zehnerlogarithmus spielt beispielsweise bei der Berechnung des pH-Werts eine Rolle.

Die nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannte eulersche Zahl $e \approx 2{,}718281828459$ ist (wie $\pi$ ) eine irrationale Zahl und z. B. definiert als (siehe Fakultät

)
$\begin{array}{rcl} \large e &=& \frac{1}{0!} \, + \, \frac{1}{1!} \, + \, \frac{1}{2!} \,+ \,\frac{1}{3!} \,+ \,\frac{1}{4!} \,+ \,\frac{1}{5!} \,+ \,\frac{1}{6!} \,+ \,\frac{1}{7!} \,+ \,\dots \\ \\ &=& 1 \,+ \,1 \,+ \,\frac{1}{1 \cdot 2} \,+ \,\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} \,+ \,\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \,+ \,\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} \,+ \,\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} \,+ \,\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} \,+ \,\dots \end{array}$

Binomische Formeln

Beim Vereinfachen von Summen, die quadriert werden sollen, können für alle reellen Zahlen

und

die Binomischen Formeln helfen. Sie bieten eine Art Abkürzung für das Auflösen von speziellen Klammertermen, die sonst mithilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert werden müssten, z. B. (a+b)^2 = (a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2= a^2+2ab+b^2

(a+b)^2 = (a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2= a^2+2ab+b^2

. Das geht natürlich auch - ist aber länger und damit u. U. fehleranfälliger.

1. Binomische Formel: (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2

2. Binomische Formel: (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2

3. Binomische Formel: (a+b)(a-b) = a^2-b^2

Bemerkung: Häufig ist es nützlich, die Binomischen Formeln von rechts nach links, d. h. zum Faktorisieren, anzuwenden.

Termvereinfachungen

Bezeichnungskonventionen

In Termen ist es üblich:

Zahlen an den Anfang zu schreiben,
Variablen (auch in Produkten) alphabetisch zu ordnen und
sie u. U. so zu erweitern, dass keine Wurzeln im Nenner stehen.

Was darf man mit Termen machen?

Man darf:

Zahlen einsetzen und den sich ergebenden Wert ausrechnen
einen Term in andere einsetzen
Terme umformen
Terme vergleichen

Man sagt "ein Term nimmt einen speziellen Wert an", wenn das Einsetzen von irgendeiner Zahl zu diesem speziellen Wert führt, z. B. nimmt der Term $\frac{x^2}{x-4}$ für x=1

den Wert $-\frac{1}{3}$ an.

Verfahren zur Termvereinfachung

Zum Vereinfachen von Termen gibt es viele verschiedene Verfahren, da mathematische Terme ebenfalls sehr vielfältig gestaltet sein können. Neben den auf dieser Seite bereits erläuterten Gesetzen kann folgendes helfen:

Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
Erweitern
Kürzen: Dabei aufpassen, dass aus Summen nicht gekürzt werden darf!

Grundsätzlich kann bei der Behandlung von Termen nicht gesagt werden, welche Form die geschickteste ist. Das hängt stark von der vorgegebenen Aufgabe ab, z. B. erleichtert es das Ableiten, wenn ein Term möglichst wenig Produkte enthält. Umgekehrt ist es zum Kürzen notwendig, dass die Terme faktorisiert vorliegen. Um zu erkennen, welche Umformungen möglich und sinnvoll sind, ist schlicht und einfach viel Übung nötig...

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