5.1.4  geometrische Reihen

Man kann sich die Entstehung geometrischer Reihen so vorstellen, daß ausgehend von zwei Werten a und k eine Summe gebildet wird (ausgehend von a wird n-mal mit k multipliziert):
s_n = a + ak + ak²+ak³+ak⁴+akⁿ⁻²+akⁿ⁻¹.
Die Summe kann man durch einen Trick ermitteln: man multipliziert beide Seiten mit k:
ks_n = ak + ak² + ak³+ak⁴+ak⁵+...+akⁿ⁻¹+akⁿ.
Subtrahiert man beide Gleichungen, erhält man
s_n−ks_n=a−akⁿ oder s_n(1−k)=a(1−kⁿ) oder s_n(k−1)=a(kⁿ−1) . .
Damit wird s_n = a + ak + ak²+ak³+ak⁴+ak⁵+...+akⁿ⁻¹ = a · kⁿ−1/k−1.