13.3.6  Linearisierung einer Funktion; Nullstellenbestimmung nach Newton

Abbildung 61: Nullstellenbestimmung nach Newton
  y−y0
  x−x0
 = f′(x0)


  0−y0
  x1−x0
=f′(x0)


x1=x0−
  y0
  f′(x0)


.
Wiederholung:

xn+1=xn−
  yn
  f′(xn)

solange, bis Fehler y(xn)<ε
.


Konvergenzkriterien:

⎪
⎪
⎪
⎪
  f(x)· f″(x)
  f′(x)2
⎪
⎪
⎪
⎪		<1



Beispiel: x2+2−ex=0⇔ x2+2=ex
Startwert x=1,5 : Konvergenzkriterium erfüllt?

y=x2+2−ex   ⇒   f(1,5)≈ −0,2


y′=2x−ex    ⇒   f′(1,5)≈ −1,48


y″=2−ex    ⇒   f″(1,5)≈ −2,48


⎪
⎪
⎪
⎪
f(1,5)· f″(1,5)
f′(1,5)2
⎪
⎪
⎪
⎪		=|−0,26|<1



⇒ Konvergenzkriterium erfüllt

nxn−1f(xn−1)f′(xn−1)
11,5−0,23−1,48
21,34−0,027−1,1
31,32−0,005..✓