13.3.7  Extremwertaufgaben

Extremwertaufgaben können u.U. helfen, Optima herauszufinden.
gegeben: Zielfunktion
gesucht: Minimum, Maximum.
Beispiel 13 - 30 df0780
Gegeben sei die Funktion f(x) = 5 − 2 x2. Ein Rechteck werde durch die x- und y-Achsen sowie einen Punkt der Funktion f(x) begrenzt.

Abbildung 62: f(x)=5−2x2
  1. Zeigen Sie, daß es einen Punkt von f(x) gibt, für den die Fläche des eingeschlossenen Rechtecks maximal wird.
  2. Welchen Wert hat x ?
  3. Wie groß ist die Fläche ?

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Beispiel 13 - 31 df0790
Aus einem Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitt soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt so herausgeschnitten werden, daß sein Widerstandsmoment W = b · h2/6 (Breite b, Dicke h) möglichst groß wird. .

Abbildung 63: Baumstamm

Wie groß ist h bzw .b ? .

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Beispiel 13 - 32 df9020 .
Gegeben ist eine Lampe mit der Lichtstärke L.

Abbildung 64: Lampe am Tisch

In Punkt P gilt für die Helligkeit:
B=L· r−2· sinα
gesucht ist die maximale Ausleuchtung des Tischrandes.
Wie hoch muss die Lampe aufgehängt werden?
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