Die bisher aufgeführten Verfahren
bergen die Gefahr von Rundungsfehlern.
Beispiel 16 - 43:
Das Gleichungssystem
| x1 | + | x2 | = | 2 |
| x1 | + | 1,0001· x2 | = | 2,0001 |
hat (1,1) als Lösung. Lag nun beispielsweise ein Rundungsfehler vor,
| x1 | + | x2 | = | 2 |
| x1 | + | 1,0001· x2 | = | 2 |
,
erhält man als Lösung (2,0), was deutlich von der ersten Lösung abweicht.
Sind die Rundungseffekte noch stärker,so erhält man
| x1 | + | x2 | = | 2 |
| x1 | + | x2 | = | 2 |
,
mit unendlich vielen Lösungen (2−λ,λ), λ ∈ R, was nochmals deutlich von der ersten Lösung abweicht.
Wenn sehr kleine Veränderungen der Werte solch große Auswirkungen auf die Lösungen haben, spricht man von einem schlecht konditioniertem Gleichungssystem.
Bem Gleichungssystem
| 0,00001· x1 | + | x2 | = | 1 |
| x1 | + | x2 | = | 2 |
tritt dies beispielsweise nicht auf, das Gleichungssystem ist gut konditioniert. Ein Runden ergibt
| x2 | = | 1 | ||
| x1 | + | x2 | = | 2 |
,
und man erhält als Lösung (1,1). Bei Anwendung des Gauß-Verfahrens erhält man jedoch
| 0,00001 · x1 | + | x2 | = | 1 |
| −9999· x2 | = | −99998 |
und daraus x2=0,99990. Rundet man diesen Wert auf 1, so ergibt sich aus der ersten Gleichung
0,0001 · x1 + 1 = 1 ⇒ x1 = 0,
also eine Lösung (0,1) und nicht (1,1) wie erwartet.
Der Fehler ließe sich durch entsprechende Umstellung vermeiden, indem man z.B. die Variablen vertauscht:
| x2 | + | 0,00001· x1= | 1 | |
| x2 | + | 1· x1 | = | 2 |
was zu den Gleichungen führt:
| x2 | + | 0,00001· x1= | 1 | |
| 0,9999· x1 | = | 1 |
und daraus nach Rundung das Ergebnis (1,1).
Indem man die Diagonalelemente durch Umstellung möglichst groß macht (Pivotisieren), läßt sich dieser Effekt meist reduzieren.