18.5.3  Binomialverteilung

Gegeben sei eine Urne mit schwarzen und weißen Kugeln. Bei jeder Ziehung wird die Nummer der Kugel festgehalten und sie danach zurückgelegt (’ Bernoulli-Experiment ’). Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Ziehung eine weiße Kugel zu erhalten, sei p und ist wegen des Zurücklegens konstant. Dann ist q = 1−p die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen. Die Anzahl der Permutationen ist demnach .
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Die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Realisierungen ist damit .
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Trägt man nun für eine vorgegebene Anzahl von Kugeln und gegebenes p die Wahrscheinlichkeit auf, 1; 2; 3; ... n weiße Kugeln zu ziehen, erhält man die Wahrscheinlichkeitsfunktion. .
Eine einfache Realisierung (anstatt manuell auszumultiplizieren oder in einer Tabelle zu suchen) liefert z.B. eine Tabellenkalkulation für die einzelne Wahrscheinlichkeit: .
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BINOM.VERT(Zahl_Erfolge;Versuche;Erfolgswahrsch;Kumuliert) .
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Zahl_Erfolge entspricht x (’Laufvariable’) .
Versuche: Vorgegebene Zahl der Versuche = n .
Erfolgswahrsch: entspricht p .
Kumuliert: FALSCH - Wahrscheinlichkeitsfunktion , WAHR - Verteilungsfunktion .
Reiht man die Laufvariable in einer Spalte auf, so kann man mittels der Formel .
=BINOM.VERT(A1;6;0,1;FALSCH) .
die zugehörigen Werte in einer zweiten Spalte aufreihen und graphisch darstellen: .

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Abbildung 90: Binomialverteilung für n=6, p=0,1

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Abbildung 91: Binomialverteilung für n=6, p=0,5

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Abbildung 92: Binomialverteilung für n=6, p=0,8

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Trägt man die Verteilungsfunktion auf, so kann man die Wahrscheinlichkeit ablesen, mindestens n Realisierungen nach x Versuchen zu erzielen: .

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Abbildung 93: Verteilungsfunktion der Binomialverteilung für n=6, p=0,8

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Dies macht man sich zunutze bei Annahme-Stichprobenprüfungen. .
Beispiel 18 - 13 st9042
In einer Fabrik werden Teile mit 1,5 % Ausschuss hergestellt. Wie wahrscheinlich ist es, aus einer großen Lieferung in einer Zufallsstichprobe mit 5 entnommenen Teilen genau 0,1,2,3,4 bzw. 5 fehlerhafte Stücke zu finden ? Tabelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion: .

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Abbildung 94: Stichprobe für n=5, p=0,15

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Lösung ansehen .
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