18.6.1  Student-Verteilung

Die als Student-verteilung oder auch als t-Verteilung bekannte Verteilung wurde von W.S. Gosset unter dem Pseudonym ’Student’ erarbeitet [], []. .
Gosset zeigte, daß der Quotient aus .
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nur dann einer Standardnormalverteilung folgt, wenn die die Xi normalverteilt sind und µ und σ bekannt sind. .

Wenn die unabhängigen Zufallsvariablen X1, X2,...,Xn identisch normalverteilt sind, dann unterliegt die stetige Zufallsgröße t einer Studentschen (t-) Verteilung: .
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Der Freiheitsgrad FG = (n−a) =ν ist definiert als die Anzahl frei verfügbarer Beobachungen, also dem Stichprobenumfang minus der Anzahl a der Parameter, die aus der Stichprobe geschätzt werden. .
Für eine steigende Anzahl an Freiheitsgraden ν nähert sich die Student-t-Verteilung der Normalverteilung immer näher an. Als Faustregel gilt, dass man ab ca. ν > 30 die Student-t-Verteilung bei Bedarf durch die Normalverteilung approximieren kann. .

Die Student-t-Verteilung wird zur Konfidenzschätzung für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariable bei unbekannter Varianz verwendet. .
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist gegeben durch .
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( Γ() ist die Gamma-Funktion, Γ(x)= ∫0∞tx−1e−t für x>0). .
Bestimmung der Werte über Aufruf in Excel:

Abbildung 99: Wahrscheinlichkeitsdichte und -funktion der t-Verteilung für ν = 1,3,8

Tabelle einiger t-Quantile für verschiedene (zweiseiteige) Vertrauensniveaus γ (aus []); (Linke Spalte: ν - Anzahl der Freiheitsgrade) .

νγ = 0,50,750,80,90,950,980,990,998
11,0002,4143,0786,31412,70631,82163,657318,309
20,8161,6041,8862,9204,3036,9659,92522,327
30,7651,4231,6382,3533,1824,5415,84110,215
40,7411,3441,5332,1322,7763,7474,6047,173
50,7271,3011,4762,0152,5713,3654,0325,893
60,7181,2731,4401,9432,4473,1433,7075,208
70,7111,2541,4151,8952,3652,9983,4994,785
80,7061,2401,3971,8602,3062,8963,3554,501
90,7031,2301,3831,8332,2622,8213,2504,297
100,7001,2211,3721,8122,2282,7643,1694,144
110,6971,2141,3631,7962,2012,7183,1064,025
120,6951,2091,3561,7822,1792,6813,0553,930
130,6941,2041,3501,7712,1602,6503,0123,852
140,6921,2001,3451,7612,1452,6242,9773,787
150,6911,1971,3411,7532,1312,6022,9473,733
160,6901,1941,3371,7462,1202,5832,9213,686
170,6891,1911,3331,7402,1102,5672,8983,646
180,6881,1891,3301,7342,1012,5522,8783,610
190,6881,1871,3281,7292,0932,5392,8613,579

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νγ = 0,50,750,80,90,950,980,990,998
200,6871,1851,3251,7252,0862,5282,8453,552
210,6861,1831,3231,7212,0802,5182,8313,527
220,6861,1821,3211,7172,0742,5082,8193,505
230,6851,1801,3191,7142,0692,5002,8073,485
240,6851,1791,3181,7112,0642,4922,7973,467
250,6841,1781,3161,7082,0602,4852,7873,450
300,6831,1731,3101,6972,0422,4572,7503,385
400,6811,1671,3031,6842,0212,4232,7043,307
500,6791,1641,2991,6762,0092,4032,6783,261
1000,6771,1571,2901,6601,9842,3642,6263,174
2000,6761,1541,2861,6531,9722,3452,6013,131
5000,6751,1521,2831,6481,9652,3342,5863,107
∞0,6741,1501,2821,6451,9602,3262,5763,090

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Man kann beispielsweise ein Intervall angeben, das den unbekannten Mittelwert µ mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit P=γ überdeckt. Dies entspricht dem Vertrauensintervall mit den Grenzen .
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x− t · s/ √n ≤ µ ≤ x + t · s/ √n .
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Die halbe Breite des Vertrauensbereiches wird als Meßunsicherheit Δ x bezeichnet: .
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Δ x = t · s/ √n, .
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womit man auch schreiben kann: .
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x− Δ x ≤ µ ≤ x+ Δ x .
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bzw. .
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|x− Δ x| ≤ µ . .
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Der Wert von t hängt von der Anzahl n der Meßwerte und dem Vertrauensniveau ab, das man vorgibt. Häufig wird γ = 95 % und 99% verwendet. .
Für eine sehr große Zahl von Messwerten oder bei bekannter Stabdardabweichung σ (der normalverteilten Grundgesamtheit) geht diese Verteilung in die Gaußsche Verteilung über. .
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Meist gibt man für einen Messwert x und dessen Vertrauensbereich das Ergebnis in der Form an: .
x = x ± Δ x = x ± t · s/ √n .
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