20.3.1  Lineare Regression

Zwischen zwei gemessenen Größen X und Y soll ein funktionaler Zusammenhang hergestellt werden. Hierbei ist eine Kurve y=f(x) gesucht, dessen Koeffizienten geschätzt werden sollen. .
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Beispiel 20 - 29 st9200
Die Untersuchung der Lösbarkeit L von NaNO₃ in Wasser in Abhängigkeit von der Temperatur ergibt folgende Tabelle: .
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Die x-Werte seien Temperaturen (^oC), die y-Werte seien Löslichkeitswerte (L, in [g in 100 g H₂O]). Gesucht ist ein funktionaler Zusammenhang zwischen x und y. Mögliche Vorgehensweise: .
1. Schritt: Darstellung in einem Diagramm .
2. Schritt: Suchen des Funktionstyps. Hier hilft die Einsicht in die technischen Zusammenhänge .
3. Schritt: Versuch, eine Ausgleichsfunktion einzuzeichnen .
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Gesucht ist nun eine Kurve, deren Summe der Abstandsquadrate (f(x_i) − y_i) in y-Richtung minimal wird: .
S = ∑_i=1ⁿ v_i² = ∑_i=1ⁿ (y_i−f(x_i))² → Minimum. .
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Denkbar sind Funktionen wie

• y=ax+b
• y=ax² + bx + c
• y=a · e^bx
• y=a · ln(bx) etc.

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Die Werte der Parameter werden bestimmt über .
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∂   S/ ∂ a = 0,   ∂   S/ ∂ b = 0 etc. .
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Lösungsansatz für unser Beispiel mit der Funtkion y=ax+b : .
S(a;b) = ∑_i=1ⁿ (y_i − f(x_i))² = ∑_i=1ⁿ (y_i − ax_i − b)² → Minimum. .
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Lösung ansehen .
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