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Erklärungen

Wissen über Eigenschaften und "spezielle Punkte" von Funktionen/Graphen ist in vielen Fällen sehr nützlich und hilft häufig viel weiter als eine ausführliche Wertetabelle. Weiß man beispielsweise, dass eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, reicht es aus, die Funktionswerte für nichtnegative x-Werte zu berechen - die entsprechenden Funktionswerte für negative x-Werte erhält man in einem solchen Fall automatisch.

"Besondere Punkte" einer Funktion

Nullstellen und Extrema

Definition: Eine Funktion f(x) hat an einer Stelle x_0 eine Nullstelle, wenn f(x_0)=0 ist.

Definition: Eine Funktion f(x) hat an einer Stelle x_0 einen Tiefpunkt oder Minimum, wenn der zu x_0 gehörende Funktionswert f(x_0) in einer gewissen Umgebung von x_0 der kleinste Funktionswert ist.

Definition: Eine Funktion f(x) hat an einer Stelle x_0 einen Hochpunkt oder Maximum, wenn der zu x_0 gehörende Funktionswert f(x_0) in einer gewissen Umgebung von x_0 der größte Funktionswert ist.

Definition: Eine Funktion hat an einer Stelle x_0 ein Extremum, wenn die Funktion in x_0 entweder ein Minimum oder ein Maximum hat.

Selbstverständlich werden hier nur solche Stellen x_0 betrachtet, die im Definitionsbereich liegen!


In der folgenden Graphik sind die Funktionen f_1(x)=-2x+8, f_2(x)=2x^2-9, f_3(x)=-\frac{1}{4}x^2-2x-5 und f_4(x)=4\sin(x) zu sehen (Mehr zur Funktion f_4(x) erfahren Sie im Kapitel Trigonometrie). Die Nullstellen sind mit braunen, die Maxima mit dunkelblauen und die Minima mit hellblauen Kreisen markiert.
4 Funktionen mit markierten Nullstellen und Extrema
Zur Berechnung von Extremstellen wird in vielen Fällen die Differenzialrechnung benötigt.

ACHTUNG: Wie in der folgenden Grafik zu sehen ist, hängt es auch vom Definitionsbereich ab, ob eine Funktion an einer Stelle ein Extremum hat. Die Grafik zeigt die gleichen Funktionen wie zuvor, allerdings mit \mathbb{D}=\mathbb{R}_0^+ statt \mathbb{D}=\mathbb{R}. Alle Extrema im negativen x-Bereich sind weggefallen. Dafür finden sich an der Stelle x=0, also am unteren Rand des Definitionsbereiches, nun vier Extrema statt wie vorher nur eines.
4 Funktionen mit markierten Nullstellen, Minima und Maxima im nichtnegativen Bereich

Wende- und Sattelpunkte

Definition: Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem ein Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert - von einer Rechtskrümmung ("Rechtskurve") zu einer Linkskrümmung ("Linkskurve") oder umgekehrt.

Definition: Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, an dem die Steigung der Funktion 0 ist, d. h. der Graph der Funktion ist an dieser Stelle horizontal.


In der folgenden Grafik sind die Funktionen f_1(x)=\frac{1}{2}x^3+\frac{7}{2}x^2+6x+5 und f_2(x)=\frac{1}{20}x^3-\frac{3}{20}x^2+\frac{3}{20}x-\frac{5}{2} zu sehen. f_1(x) hat einen "normalen" Wendepunkt, f_2(x) einen Sattelpunkt. Beide sind mit orangefarbenen Kreisen markiert.
2 Funktionen mit markiertem Wende- bzw. Sattelpunkt
Wende- und Sattelpunkte lassen sich ohne Differenzialrechnung nicht exakt ermitteln. Dieser Teil der Mathematik ist aber nicht mehr Inhalt des Brückenkurses.

Polstelle

Definition: Eine Polstelle ist eine Definitionslücke einer Funktion, in deren Umgebung die Funktionswerte beliebig groß oder beliebig klein werden.


In der folgenden Grafik ist die Funktion f(x)=\frac{1}{x-2} zu sehen. Da durch 0 nicht geteilt werden darf, hat die Funktion eine Definitionslücke bei x=2 oder - anders formuliert - ihr Definitionsbereich ist \mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash_{\{2\}} . Im Intervall [1;2[ sind die Funktionswerte beliebig klein, während sie im Intervall ]2;3] beliebig groß sind.
1 Funktion mit Polstelle

Eigenschaften von Funktionen

Randverhalten

Definition: Das Randverhalten beschreibt den Verlauf der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs.

Wenn man den Graphen der Funktion f(x)=\frac{1}{x-2} betrachtet (siehe oben), stellt man fest:
  • Läuft x gegen - \infty, geht f(x) gegen 0
  • Läuft x aus negativer Richtung gegen 2, geht f(x) gegen - \infty
  • Läuft x aus positiver Richtung gegen 2, geht f(x) gegen +\infty
  • Läuft x gegen +\infty, geht f(x) gegen 0
Bemerkung: Wie Sie sehen, kann ein Definitionsbereich mehr als zwei Ränder haben.

Die Betrachtung des Randverhaltens kann z. B. bei der Einschätzung helfen, ob ein Extremum ein Minimum oder ein Maximum ist.

Symmetrie

Definition: Eine Funktion f(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt: f(x)=f(-x)

Definition: Eine Funktion f(x) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn gilt: -f(x) =f(-x)


In der folgenden Grafik sind die Funktionen f_1(x)=\frac{6}{5}x^2-8 und f_2(x)=4x zu sehen. f_1(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse und f_2(x) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
1 achsensymmetrische und 1 punktsymmetrische Funktion
Eine Funktion kann auch zu anderen Geraden außer der y-Achse bzw. zu anderen Punkten außer dem Koordinatenursprung symmetrisch sein. Beispielsweise ist die Funktion f(x)=x^3+9x^2+27x+28=(x+3)^3+1 punktsymmetrisch zum Punkt (-3\mid 1) (siehe folgende Grafik).
Funktion. die punktsymmetrisch zu (-3/1) ist

Monotonie

Definition: Eine Funktion f(x) heißt streng monoton steigend, wenn für alle x_1, x_2 \in \mathbb{D} mit x_1<x_2 gilt: f(x_1)<f(x_2)
Anders formuliert: Ist x_1 kleiner als x_2, muss auch der zu x_1 gehörende Funktionswert f(x_1) kleiner sein als der Funktionswert, der zu x_2 gehört, also f(x_2)

Definition: Eine Funktion f(x) heißt monoton steigend, wenn für alle x_1, x_2 \in \mathbb{D} mit x_1<x_2 gilt: f(x_1) \leq f(x_2)
Anders formuliert: Ist x_1 kleiner als x_2, muss der zu x_1 gehörende Funktionswert f(x_1) kleiner sein als der Funktionswert, der zu x_2 gehört, also f(x_2). f(x_1) und f(x_2) dürfen aber auch identisch sein.

Definition: Eine Funktion f(x) heißt streng monoton fallend, wenn für alle x_1, x_2 \in \mathbb{D} mit x_1<x_2 gilt: f(x_1)>f(x_2)
Anders formuliert: Ist x_1 kleiner als x_2, muss der zu x_1 gehörende Funktionswert f(x_1) größer sein als der Funktionswert, der zu x_2 gehört, also f(x_2)

Definition: Eine Funktion f(x) heißt monoton fallend, wenn für alle x_1, x_2 \in \mathbb{D} mit x_1<x_2 gilt: f(x_1) \geq f(x_2)
Anders formuliert: Ist x_1 kleiner als x_2, muss der zu x_1 gehörende Funktionswert f(x_1) größer sein als der Funktionswert, der zu x_2 gehört, also f(x_2). f(x_1) und f(x_2) dürfen aber auch identisch sein.


In der folgenden Grafik sind die Funktionen f_1(x)=-4x+1 und f_2(x)= 2x-3 zu sehen. f_1(x) ist streng monoton fallend und f_2(x) streng monoton steigend.
1 streng monoton fallende Funktion 1 streng monoton steigende Funktion
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