Die Ableitung (gesprochen: "f Strich von x") einer Funktion ist (vorausgesetzt die Ableitung existiert, siehe unten) die Funktion, die die Steigung der Funktion beschreibt. Eine exakte Erklärung des Begriffs "Ableitung" erfordert die Betrachtung von Grenzwerten.
Da die Ableitung einer Funktion (so sie existiert) wieder eine Funktion ist, nämlich , kann sie erneut abgeleitet werden. So erhält man die zweite Ableitung . Leitet man diese wieder ab, kommt man zur dritten Ableitung . und werden auch höhere Ableitungen oder Ableitungen höherer Ordnung genannt.

Die Steigung der Funktion an einer bestimmten Stelle lässt sich mithilfe der Tangente an dieser Stelle veranschaulichen. Die Tangente ist eine Gerade, die den Funktionsgraphen in einem Punkt berührt und in der Umgebung dieses Punktes approximiert. Daher kann man hiermit die Steigung leicht berechnen, z. B. mit einem Steigungsdreieck.

Achtung: bedeutet etwas Anderes als

• bedeutet: Die Funktion hat an der Stelle den Funktionswert .
• bedeutet: Die Funktion hat an der Stelle die Steigung .

Es gibt Funktionen, bei denen sich an bestimmten Stellen die Steigung nicht bestimmen lässt. Die folgende Grafik zeigt eine solche Funktion:

Im Minimum der fett gezeichneten Funktion (es ist eine Betragsfunktion, nämlich ), also im Punkt , lässt sich keine Tangente finden. Hier sind zur Illustration drei Geraden mit unterschiedlicher Steigung eingezeichnet. Es existieren unendlich viele Geraden, die den Funktionsgraphen in diesem Punkt berühren, ohne dass eine besser oder schlechter wäre als die anderen. Entsprechend kann in diesem Punkt keine Steigung der Funktion bestimmt werden. Man sagt: Die Funktion ist im Punkt nicht differenzierbar.

Für die Berechnung von Ableitungsfunktionen gibt es verschiedene Regeln.
Dabei sind , , und Funktionen, aus denen zusammengesetzt ist. Bei der Quotientenregel muss immer ungleich sein.

Konstantenregel: Für , , konstant, ist

Faktorregel: Für , ist

Potenzregel: Für , ist

Summenregel: Für ist

Produktregel: Für ist

Quotientenregel: Für ist

Kettenregel: Für ist


Bemerkung 1: Bei komplizierteren Funktionen müssen diese Regeln kombiniert angewendet werden.
Bemerkung 2: Da die Summenregel deutlich einfacher ist als die Produktregel, erleichtert es das Ableiten, wenn eine Funktion möglichst weit ausmultipliziert vorliegt.
Bemerkung 3: Häufig können auch die Potenzgesetze helfen, z. B. gilt . Daher ist . Wer diesen Weg kennt, muss wesentlich weniger Ableitungsregeln auswendig kennen.

Natürlich können auch trigonometrische sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen abgeleitet werden. Ihre Ableitungen werden meist unter der Überschrift "Spezielle Ableitungen" zusammengefasst.
Achtung: Bitte achten Sie jeweils auf die Definitionsbereiche sowie mögliche Einschränkungen für Parameter (siehe die entsprechenden Kapitel)!

Sinusfunktion: Für ist

Kosinusfunktion: Für ist

Tangensfunktion: Für ist

Exponentialfunktion 1: Für ist

Exponentialfunktion 2: Für ist

Logarithmusfunktion: Für ist

Hat eine Funktion eine Extremstelle, bietet sich zur Berechnung dieser Stelle häufig das folgenden Verfahren an:
Notwendige Bedingung: Hat in eine Extremstelle, ist

Hinreichende Bedingung: Lässt sich eine Funktion zweimal ableiten und gilt sowohl als auch , so hat im Punkt ein lokales Extremum. Ist und , handelt es sich um ein lokales Minimum. Ist und , handelt es sich um ein lokales Maximum.

Bemerkung: Es gibt Extremstellen, z. B. an den Rändern des Definitionsbereichs oder an Stellen, an denen keine Steigung bestimmt werden kann (siehe oben), die mithilfe dieses Verfahrens nicht gefunden werden können.