Bei einem Bruch heißt Zähler und Nenner.
Der Bruchstrich steht dabei für eine Division. Auch wenn für und grundsätzlich beliebige reelle Zahlen eingesetzt werden dürfen, ist es üblich, in Brüchen ganze Zahlen zu verwenden, also . Immer gilt, dass der Nenner sein muss, da durch nicht geteilt werden darf!

Aufgrund der Rechenregeln für die Division gilt:

• für alle Zahlen

• 

• 

Man unterscheidet folgende Arten von Brüchen:

• Echte Brüche: Bei echten Brüchen ist der Betrag der Zählers kleiner als der Betrag des Nenners, d. h. der Betrag des gesamten Bruches ist kleiner als , z. B.
• Unechte Brüche: Bei unechten Brüchen ist der Betrag der Zählers größer als der Betrag des Nenners, d. h. der Betrag des gesamten Bruches ist größer als , z. B.

• Gleichnamige Brüche: Brüche, die den gleichen Nenner haben, heißen gleichnamig. Der entsprechende Nenner heißt Hauptnenner der Brüche. Z. B. sind die Brüche und gleichnamig. Ihr Hauptnenner ist
• Ungleichnamige Brüche: Brüche, die nicht den gleichen Nenner haben, heißen ungleichnamig, z. B. sind die Brüche und ungleichnamig.

• Gemischte Zahlen: Gemischte Zahlen bestehen aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch, z. B. oder . Wichtig: Bitte beachten Sie, dass die ganze Zahl und der Bruch addiert werden, auch wenn das Pluszeichen weggelassen wird! Normalerweise werden in der Mathematik ausschließlich Malzeichen nicht geschrieben, wenn die Formel etc. trotz des Weglassens eindeutig bleibt. Dies hier ist die große Ausnahme. Da das in vielen Fällen zu Verwirrung führt, sollte diese Schreibweise nur verwendet werden, wenn es dafür wichtige Gründe, z. B. Einschätzen der Größenordnung, gibt. Im Übrigen werden gemischte Zahlen auch nicht benötigt. Echte und unechte Brüche reichen vollkommen aus, um alle Brüche abzubilden. Statt einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, ist es üblicherweise besser, ihn einfach so stehen zu lassen.

Dezimalzahlen
Teilt man den Zähler eines Bruches durch seinen Nenner, erhält man eine Dezimalzahl, auch "Kommazahl" genannt, z. B.

Auch bei den Dezimalzahlen unterscheidet man verschiedene "Sorten":

• Endliche Dezimalzahlen: Eine Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen, z. B. oder
• Unendliche Dezimalzahlen: Eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Hier unterscheidet man weiter:
  • Periodische Dezimalzahlen: Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich innerhalb der unendlichen Folge von Nachkommastellen ein bestimmtes Muster immer wieder, z. B. oder oder Dies macht man kenntlich, indem man nur das erste Auftreten dieser Periode notiert - mit einem horizontalen Strich darüber, z. B. oder oder . Dann benötigt man keine Pünktchen mehr dahinter. Sie sollen ja nur andeuten, dass die Zahl unendlich weitergeht und nicht nach den angegeben Nachkommastellen aufhört. Der (mathematische) Unterschied zwischen und ist zwar nicht groß, aber er ist da...
  • Nichtperiodische Dezimalzahlen: Nichtperiodische Dezimalzahlen haben kein solches Muster in ihrer unendlichen Folge von Nachkommastellen, z. B. oder oder (die beiden letzten Beispiele werden Sie in den Kapiteln "Potenzen, Wurzeln, Logarithmen" bzw. "Geometrie" kennen lernen). Wichtig ist auch hier, dass die drei kleinen Pünktchen am Ende nicht vergessen werden. Benötigt man nur eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen (was ja meistens der Fall ist), muss entsprechend gerundet werden.

Zwei Brüche werden erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht. Z. B.

Zwei Brüche werden gekürzt, indem man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht. Z. B.

Es versteht sich (eigentlich) von selbst, dass keine geeignete Zahl zum Erweitern oder Kürzen ist, weil man ja nun mal durch nicht teilen darf...

Zwei gleichnamige Brüche werden addiert, indem man die Zähler addiert und den Nenner unverändert lässt. Z. B.

Zwei ungleichnamige Brüche werden addiert, indem man sie gleichnamig macht (z. B. durch Erweitern) und dann addiert. Z. B.

Zwei gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert und den Nenner unverändert lässt. Z. B.

Zwei ungleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man sie gleichnamig macht (z. B. durch Erweitern) und dann subtrahiert. Z. B.

Zwei Brüche werden multipliziert, indem man jeweils die Zähler und die Nenner multipliziert. Z. B.

Zwei Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. Z. B.

Bemerkung: Ist das Ergebnis einer Bruchrechnungsaufgabe ein Bruch, sollte dieser so weit wie möglich gekürzt werden. Abhängig von der Aufgabenstellung (z. B. wenn die Größenordnung von Bedeutung ist) kann es sinnvoll sein, das Ergebnis als gemischte Zahl darzustellen.
Bei Multiplikationsaufgaben und damit auch bei Divisionsaufgaben sollte immer vor dem Multiplizieren überprüft werden, ob die Brüche gegeneinander gekürzt werden können. Je früher in einer Rechnung gekürzt wird, desto handlicher bleibt die Aufgabe. ACHTUNG: Aus Summen darf man nicht kürzen!

Im Zusammenhang mit Erweitern und Kürzen wird häufig vom kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) und vom größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier natürlicher Zahlen und (also ) gesprochen:

Das kleinste gemeinsame Vielfache:

• Das kgV der Zahlen und ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl ein Vielfaches von als auch ein Vielfaches von ist.
• Z. B. ist das kgV von und gleich
• Die Bestimmung des kgV hilft u. a., wenn zwei Brüche gleichnamig gemacht werden müssen, z. B. . Natürlich wäre auch ein Hauptnenner von und . Allerdings wären dann die Zähler und Nenner jeweils doppelt so groß und üblicherweise rechnet es sich mit kleineren Zahlen leichter.

Der größte gemeinsame Teiler:

• Der ggT der Zahlen und ist die größte natürliche Zahl, durch die sich sowohl als auch ohne Rest teilen lässt.
• Zahlen, deren ggT gleich ist, heißen teilerfremd.
• Z. B. ist das ggT von und gleich
• Die Bestimmung des ggT hilft u. a., wenn ein Bruch gekürzt werden soll, z. B.