... eine Konstante?
Ein Platzhalter für einen festen Zahlenwert

... eine Variable?
Ein Platzhalter für einen veränderlichen Zahlenwert

... ein Koeffizient?
Die Zahl in einem Produkt aus Zahl und Variable

... ein Term?
Eine mathematisch sinnvolle Kombination aus Zahlen, Konstanten, Variablen, Klammern und Rechenoperationen

... eine Gleichung?
Etwas in der Art: "ein Term = ein (anderer) Term"

Definition: Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der ausschließlich folgende Terme auftreten:

• Produkte aus einer Variablen und Konstanten/Zahlen
• Summen aus diesen Produkten und Konstanten/Zahlen

Beispiele für lineare Gleichungen


Diese Gleichung ist linear, da die einzige Variable nur mit Zahlenwerten und nicht mit sich selbst multipliziert wird. ist dabei nicht Anderes als . Dann werden noch Zahlen addiert. Das ist alles erlaubt.


Bei dieser Gleichung ist durch die Klammern nicht sofort zu erkennen, ob sie linear ist. Beim Ausmultiplizieren werden die Terme, die die Variable enthalten, aber nur mit weiteren Zahlen multipliziert, sodass auch diese Gleichung linear ist. Würden Terme dieser Art vorhanden sein, wäre das nicht der Fall.


Diese Gleichung ist tatsächlich linear, denn (also "Wurzel aus ") sieht zwar kompliziert aus, ist aber einfach nur eine Zahl.


Auch diese Gleichung ist linear, da die Variablen nur mit Zahlen multipliziert werden. Anschließend werden diese Produkte addiert. Damit sind in dieser Gleichung nur erlaubte Terme enthalten. Nicht erlaubt wären beispielsweise die Terme oder , da hier Variablen miteinander multipliziert werden.

Beispiele für nicht lineare Gleichungen


Eine lineare Gleichung darf keine trigonometrischen Funktionen, wie den Sinus, angewendet auf eine Variable enthalten.


Hier wird durch eine Variable geteilt. Das ist in linearen Gleichungen nicht erlaubt.


In linearen Gleichungen dürfen Variablen zwar mit Zahlen, aber nicht mit Variablen multipliziert werden. ist dabei eine abkürzende Schreibweise für


Im Unterschied zu oben steht hier auch die Variable unter der Wurzel. Das verletzt die Bedingungen für lineare Gleichungen.

Grundsätzlich bedeutet "Gleichung lösen", für die Variable alle Werte zu finden, die beim Einsetzen in die Gleichung beide Seiten der Gleichung gleich groß werden lassen. Alle Werte bedeutet, dass eine Gleichung durchaus mehrere Lösungen haben kann. Um diese Werte zu finden, wird die Gleichung durch Umformungen in eine Form gebracht, in der man diese Werte ablesen kann. Dabei ist eines wichtig: Die Lösungsmenge der Gleichung darf sich während der Umformungen nicht ändern, sonst wären die ausgerechneten Zahlenwerte ja keine Lösungen der ursprünglichen Gleichung. Das heißt, einige Umformung helfen weiter, wenn man die Lösung einer Gleichung finden möchte - andere nicht. Die Umformungen, die die Lösungsmenge der Gleichung nicht ändern, die einem also weiterhelfen, nennt man Äquivalenzumformungen. Es sind:

• die gleiche reelle Zahl oder das gleiche Vielfache einer Variablen auf beiden Seiten der Gleichung addieren
• beide Seiten der Gleichung mit der gleichen reellen Zahl, ausgenommen der , multiplizieren
• beide Seiten der Gleichung mit dem gleichen Term ungleich multiplizieren
• Termvereinfachungen, wie Klammern auflösen, Zahlen und Variablen zusammenfassen
• die beiden Seiten der Gleichung vertauschen

Bemerkung 1: Bitte beachten Sie, dass in diesen Aussagen auch die Subtraktion und die Division enthalten sind.
Bemerkung 2: Die hier genannten Verfahren sind grundsätzlich bei allen Gleichungen zulässig; allerdings reichen sie bei nichtlinearen Gleichungen (wie sie in späteren Kapiteln behandelt werden) nicht immer aus.

Hier ein ungefährer Plan zum Lösen einer Gleichung:

1. Klammern auflösen
2. "Sortieren": Mithilfe der Addition alle Terme, die die Variable enthalten, auf die eine Seite der Gleichung bringen; alles ohne Variable auf die andere Seite. ACHTUNG: Die Variable muss nicht heißen!
3. Die Terme auf beiden Seiten der Gleichung zusammenfassen
4. Durch den Koeffizienten der Variable teilen
5. Überprüfen, ob die als Lösung ermittelte Zahl im Definitionsbereich liegt. Nur wenn das der Fall ist, ist diese Zahl auch tatsächlich eine Lösung der Gleichung.

Bemerkung 1: Je nach Art der Gleichung kann man manchmal einen oder mehrere Schritte überspringen.
Bemerkung 2: Es ist egal, ob die Variable auf der rechten oder der linken Seite der Gleichung gesammelt wird, da die beiden Seiten einer Gleichung ja getauscht werden dürfen. meint also das Gleiche wie

Zur Notation: Es hat sich eingebürgert, am Ende einer Gleichungszeile hinter einem senkrechten Strich anzugeben, welche Rechenoperationen / Umformungen auf die Gleichung in diesem Schritt angewendet werden. Das muss man nicht machen, ist aber gerade am Anfang meist ziemlich hilfreich.

Es schließt sich die Frage an: Ist jede lineare Gleichung lösbar?

Wir schauen uns dafür beispielhaft die folgenden drei Gleichungen an:


Diese lineare Gleichung ist mehrdeutig lösbar. D. h., es gibt mehr als eine Zahl, die diese Gleichung löst. Um genau zu sein, gibt es sogar unendlich viele Lösungen. Rechnet man nämlich die Zahlen auf der rechten Seite zusammen, erhält man . Hier sieht man deutlich: Egal, welche Zahl man für einsetzt, man erhält immer auf beiden Seiten das gleiche Ergebnis. Was sollte auch sonst passieren, wenn die beiden Seiten der Gleichung identisch sind?



Diese lineare Gleichung ist eindeutig lösbar. D. h., es gibt genau eine Zahl, die diese Gleichung löst. Formt man sie um, indem man erst addiert und anschließend durch teilt, erhält man nämlich . Dies ist die einzige Lösung, denn keine andere Zahl ergibt , wenn man sie mit multipliziert und anschließend subtrahiert.



Die lineare Gleichung ist nicht lösbar. D. h., es gibt keine Zahl, die diese Gleichung löst. Zieht man auf beiden Seiten ab, was laut der Liste der Äquivalenzumformungen oben erlaubt ist, erhält man . Das ist ein Widerspruch.


Zusammenfassung: Lineare Gleichungen können nicht lösbar, eindeutig lösbar oder mehrdeutig lösbar mit unendlich vielen Lösungen sein. Andere Möglichkeiten gibt es nicht.

Um zu prüfen, ob die gefundene Zahl tatsächlich eine Lösung der Gleichung ist, kann man die Probe machen, d. h. man setzt den gefundenen Wert in die Ausgangsgleichung ein und prüft, ob beide Seiten den selben Wert ergeben. Ist das nicht der Fall, sollte man nochmal nachrechnen...